Question

Sei n€N ungerade. Man zeige: Es gibt keine Quadratzahl q, sodass 2n+q selbst eine Quadratzahl ist

leider habe ich keine Ahnung, wie ich hier vorgehen kann.

Comments

Hi, das müsste dann eine gerade Quadratzahl mit dem 2er Rest 1 sein, das geht nicht. Verwende diesen hinweis und mache einen schönen Widerspruchsbeweis daraus.

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Versuche es indirekt. Nimm an, dass q= k^2 eine Quadratzahl ist und leite einen Widerspruch her.

n ungerade kannst du als n = 2m+1 in deiner Rechnung benutzen.  ( m Element Z) 

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Danke dir!

bei meinen Widerspruch habe ich nun:

q=k² (q ist eine Quadratzahl)

n=2m+1

s²=eine weitere Quadratzahl

--> 2*(2m+1)+k²=s²

--> 4m+4+k²=s²

--> 4*(m+1)+k² =s²

4*m+1 ist ja wieder eine ungerade zahl, aber jetzt weiß ich nicht weiter

wie kann ich jetzt diese ganzen Variablen auflösen, oder sind es zuviele?

Answer 1

Ich wurde im Zusammenhang mit einer anderen Frage auf diese aufmerksam. Hilfsüberlegung: Die Differenz zweier (verschiedener) Quadratzahlen ist entweder ungerade oder durch vier teilbar. Begründung: Mit Rechnung modulo vier oder so: a²-b²=(a-b)*(a+b). Sind a und b beide gerade oder beide ungerade, so sind a-b und a+b beide gerade, das Produkt also durch 4 teilbar. Und wenn a oder b aber nicht beide gerade sind, sind beide Faktoren und daher auch das Produkt ungerade. So viel zur Hilfsüberlegung. Die eigentliche Aufgabe ist nur eine Umformulierung: Wenn man zu einer Quadratzahl (q) eine gerade Zahl addiert, die aber nicht durch vier teilbar ist (2n), kann das Ergebnis nicht wieder eine Quadratzahl sein, denn die Differenz der Quadratzahlen muss entweder ungerade oder durch 4 teilbar sein. Vielleicht stolpert noch jemand über diese schon etwas ältere Aufgabe und kann mit der Antwort was anfangen.

Comments

Die Aufgabe ist trivial. Quadratzahlen lassen mod 4 nur den Rest 0 oder 1.

Das Doppelte einer ungeraden Zahl n lässt den Rest 2 mod 4.

Die Summe q+2n lässt somit den Rest 2 oder 3 mod 4 und kann somit nicht selbst eine Quadratzahl sein.

PS: Ich verbitte mir übrigens ausdrücklich, dass jemand mit Befugnissen ungefragt diesen Kommentar in eine Antwort umdeklariert!