Ungerade Quadratzahl mit genau 5 Teilern.

Question

Aufgabe:

Gesucht ist eine ungerade Quadratzahl mit genau 5 Teilern.

Begründen Sie warum es nur eine Zahl ist.

Problem/Ansatz:

:)

Ich weiß wohl, dass es die 81 ist, weil ihre 4-te Potenz ungerade ist aber wie begründe ich, dass es nur die eine gibt?

Answer 1

Aloha :)

Sei \(p\) eine beliebige Primzahl. Dann wird die Zahl \(n=p^4=(p^2)^2\) von genau 5 Zahlen geteilt, nämlich: \(\{1,p,p^2,p^3,p^4\}\). Nehmen wir die \(2\) als Primzahl heraus, weil \(2^4=16\) nicht ungerade ist, gibt es unendlich viele ungerade Quadratzzahlen mit genau 5 Teilern:

$$p=3\;\;\Rightarrow\;\;p^4=81=9^2\;\;\text{Teiler: }\{1, 3, 9, 27, 81\}$$$$p=5\;\;\Rightarrow\;\;p^4=625=25^2\;\;\text{Teiler: }\{1, 5, 25, 125, 625\}$$$$\cdots$$

Comments

Danke, dann war es wohl eine ,,um den Blick gucken" Aufgabe.

Eigentlich soll es nur 0- 3 Lösungen geben.

Answer 2

Wenn 3^4 geht, warum geht dann 5^4 nicht?

Comments

5⁴ geht nicht, weil 5⁴ nicht kleiner als 100 ist.

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Wo genau wird dies in der Frage verlangt?

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In der Frage, die hier gestellt wurde, wird das nicht verlangt. Ich weiß, dass aufgrund hellseherischer Fähigkeiten.

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Danke. Da hab ich nun (nach 1 Stunde) aus meinem Kommentar mal eine Antwort gemacht und wir warten mal ab.