d(n) ist genau dann ungerade, wenn n eine Quadratzahl ist

Question

Aufgabe:

Verwenden Sie die Primfaktorzerlegung von \( n \in \mathbb{N} \), um folgendes zu zeigen:
\( d(n) \) ist genau dann ungerade, wenn \( n \) eine Quadratzahl (also das Quadrat einer natürlichen Zahl) ist.

Problem/Ansatz:

Grundsätzlich könnte man doch so Argumentieren:

Betrachtet man einen Teiler \( d \) von \( n \), so existiert auch immer ein weiterer Teiler \( \frac{n}{d} \), da stets \( n \) ein \( x \)-Faches von \( d \) ist und ein \( \frac{n}{d} \)-Faches von \( x \). Also existiert zu jedem Teiler \( d \) ein weiter Teiler \( \frac{n}{d} \), sofern beide nicht gleich sind. Dadurch ist die Teileranzahl schon ein mal für jedes \( n \geq 1 \) gerade. Da nun eine Quadratzahl auch einen Teiler \( m \) besitzt, dessen Quadrat wieder die Quadratzahl \( n \) ergibt, ist \( \frac{n}{m}=\frac{m^{2}}{m}=m \). Dadurch wird mit \( m \) nur ein Teiler gezählt, anstatt zwei wie bei allen anderen Teilern, wodurch Quadratzahlen immer eine ungerade Teileranzahl haben.

Ich soll es aber mit der Primfaktorzerlegung zeigen - wie würde das gehen?

Comments

Was ist \(d(n)\)?

---

\(d(n)\) steht für die Teileranzahlfunktion

Answer 1

Wenn \(n=\prod_{k=1}^mp_k^{n_k}\) die Primfaktorzerlegung von \(n\) ist, dann ist die Anzahl der Teiler

\(d(n) = \prod_{k=1}^m(n_k+1)\)

Diese Zahl ist genau dann ungerade, wenn alle Exponenten \(n_k\) gerade sind. Das heißt aber, dass \(n\) Quadratzahl ist.

Answer 2

Ich nehme an d(n) ist die Anzahl der Teiler von n

Behauptung: \( d(n) \) ist genau dann ungerade, wenn \( n \) eine Quadratzahl ist.

Beweis: Sei t ein Teiler von n, dann ist auch n/t Teiler von n. Jeder Teiler hat t also einen Partner n/t und die Anzahl der Teiler ist gerade außer wenn t=n/t also t²=n. Dann ist n die Quadratzahl t².

Answer 3

\(d(n)\) dürfte die Anzahl der Teiler von \(n\) sein.

Es ist \(d(mn)=d(m)d(n)\quad(*)\) für teilerfremde \(m,n\).

Das ergibt sich aus

https://www.mathelounge.de/1010529/beweis-teilbarkeit-produkts-zweier-teilerfremden-zahlen

Es genügt also \(d(p^a)\) zu untersuchen und für beliebiges \(n\)

die Multiplikativität \((*)\) zu verwenden.

Ein Produkt nat. Zahlen ist genau dann ungerade,

wenn jeder Faktor ungerade ist.

Ferner ist \(d(p^a)=a+1\), also ungerade, wenn \(a\) gerade ist.