Rechenbeispiel Produktionsfunktion

Question

Kann mit bitte jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Ein Chemieunternehmen besitzt aufgrund eines Patents ein Monopol auf ein spezielles Pflanzenschutzmittel. Die inverse Nachfragefunktion nach diesem Produkt im Großhandel lautet:

p=-20x+790

An fixen Kosten fallen bei der Produktion 5100 GE an, die variablen Kosten sind durch die Funktion gegeben:

V(x)=0.09531 x³ -3.0036 x² +209x

Bei welcher Produktionsmenge erzielt das Unternehmen maximalen Gewinn? 

Answer 1

p(x) = -20x + 790   und   V(x) = 0.09531 x³ - 3.0036 x² + 209x  

Kostenfunktion:  K(x) = 0.09531 x³ - 3.0036 x² + 209x  + 5100

Erlösfunktion:

E(x) = x • p(x) = - 20x² + 790x

Gewinnfunktion:

G(x) = E(x) - K(x) = -20x² + 790x - (0,09531 x³ - 3,0036 x² + 209x  + 5100)

G(x) = - 0,09531·x³  - 16,9964·x² + 581·x - 5010

G'(x) = - 0,28593·x²  - 33,9928·x + 581

G'(x) = 0 -> x = -134.0439897 (entfällt)  ∨ x = 15,15894796

(Maximalstelle, da G(x) nach untengeöffnete Parabel)

G(15,15894796) = - 440,3227217

Also bestenfalls 440,3227217 GE Verlust