Beweise dass (v1v2.....vn) eine Basis ist

Question

Sei V = Kⁿ Seien e₁e₂....e_n element von V.  Sei v_k = Summe _i=1^k von e_i  für alle k = {1.....n}

 Beweisen Sie, dass (v₁v_2.....v_n) eine Basis von V ist.

e_i= (0.....0,1,0......0)  mit 1 an i-ter Stelle.

Um zu zeigen, dass es eine Basis ist muss ich doch zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist und dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Linear unabhängig ist ja irgendwie klar weil v_k = Summe _i=1^k von e_i  also wäre v₁=(1,0,........0) und v₂=(1,1,0......0)

also kommt immer eine Komponente dazu und so sind sie linear unabhängig.

Wie zeige ich aber, dass es ein Erzeugendensystem ist:

Ich weiss, dass ein Erzeugendensystem A: span(A) = V gibt

Wie zeige ich mathematisch, dass e_1....e_n als Linearkombinationen den ganzen Bereich von Kⁿ abdecken?

Answer 1

du kannst jeden Vektor \(v = (v_1, \dots, v_n) \in \mathbb{K}^n \) doch als Linearkombination der \(e_i\) darstellen, nämlich genau durch:

$$ v = \sum_{k=1}^n v_k \cdot e_k $$

Gruß

Comments

Also stimmt sonst der Rest  wie ich es oben beschrieben habe?

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Ich denke nicht, dass du die lin. unabhängigkeit bewiesen hast. Ich versteh aber auch nicht, was du mit deiner Argumentation sagen willst.

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Beweisen Sie, dass (v₁v_2.....v_n) eine Basis von V ist. Das ist die Aufgabe, reicht das, was ich geschrieben habe dafür aus?

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Die Vorgehensweise schon, sprich lin. unabhängigkeit beweisen und zeigen, dass es ein EZS ist. Ich sehe aber weder das eine noch das andere bei dir ausformuliert bzw. bewiesen.