Wenn L ein Isomorphismus ist, dann sind V und W beide
n-dimensional. Brauchst also nur zu zeigen, dass die
L(v1),....,L(vn) linear unabhängig sind.
Sei also \( \sum \limits_{k=1}^n a_k L(v_k) = 0 \)
==> (wegen Linearität) \( \sum \limits_{k=1}^n L(a_k v_k) = 0 \)
==> (wegen Linearität) \( L( \sum \limits_{k=1}^n a_k v_k) = 0 \)
Wegen der Injektivität von L ist nur L(0) gleich 0, also \( \sum \limits_{k=1}^n a_k v_k= 0 \)
Und weil v1,...,vn lin. unabh. sind, gilt a1=...=an=0. q.e.d.