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Aufgabe:

Es seien V und W K-Vektorräume und L: V→W ein Isomorphismus.

Zeigen Sie: Ist v1,...,vn eine Basis von V, so ist L(v1),....,L(vn) eine Basis von W.


Versteht jemand diese Aufgabe und kann mir erklären wie ich das zeigen soll?

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Hallo

Was ein Isomorphismus ist weisst du? wann L(vi)=wi eine Basis von W ist auch. dann verknüpfe beides.

Gruß lul

1 Antwort

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Beste Antwort

Wenn L ein Isomorphismus ist, dann sind V und W beide

n-dimensional. Brauchst also nur zu zeigen, dass die

L(v1),....,L(vn) linear unabhängig sind.

Sei also  \(    \sum \limits_{k=1}^n a_k L(v_k) = 0 \)

==>  (wegen Linearität)      \(    \sum \limits_{k=1}^n L(a_k v_k) = 0 \)

==>  (wegen Linearität)      \(   L( \sum \limits_{k=1}^n a_k v_k) = 0 \)

Wegen der Injektivität von L ist nur L(0) gleich 0, also  \(  \sum \limits_{k=1}^n a_k v_k= 0 \)

Und weil v1,...,vn lin. unabh. sind, gilt a1=...=an=0. q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

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