Ist v1,...,vn eine Basis von V, so ist L(v1),....,L(vn) eine Basis von W.

Question

Aufgabe:

Es seien V und W K-Vektorräume und L: V→W ein Isomorphismus.

Zeigen Sie: Ist v1,...,vn eine Basis von V, so ist L(v1),....,L(vn) eine Basis von W.

Versteht jemand diese Aufgabe und kann mir erklären wie ich das zeigen soll?

Comments

Hallo

Was ein Isomorphismus ist weisst du? wann L(vi)=wi eine Basis von W ist auch. dann verknüpfe beides.

Gruß lul

Answer 1

Wenn L ein Isomorphismus ist, dann sind V und W beide

n-dimensional. Brauchst also nur zu zeigen, dass die

L(v1),....,L(vn) linear unabhängig sind.

Sei also  \(    \sum \limits_{k=1}^n a_k L(v_k) = 0 \)

==>  (wegen Linearität)      \(    \sum \limits_{k=1}^n L(a_k v_k) = 0 \)

==>  (wegen Linearität)      \(   L( \sum \limits_{k=1}^n a_k v_k) = 0 \)

Wegen der Injektivität von L ist nur L(0) gleich 0, also  \(  \sum \limits_{k=1}^n a_k v_k= 0 \)

Und weil v1,...,vn lin. unabh. sind, gilt a₁=...=a_n=0. q.e.d.