Question

Zeigen Sie mit Hilfe von Induktion: Es gibt ein k0 ∈ N, sodass 3k ≥ k 3 für alle k ≥ k0 gilt.

Danke für die Antwort :)

Comments

>Zeigen Sie mit Hilfe von Induktion: Es gibt ein k0 ∈ N, sodass 3k ≥ k 3 für alle k ≥ k0 gilt.

Wenn du 3k ≥ k³  meinst, kann ich die Aussage nicht glauben, also auch nicht beweisen.  

???

Answer 1

Soll vermutlich heißen: Es ist \(k^3\le3^k\) für alle \(k\ge3\).
Die Aussage gilt offenbar für \(k=3\).
Die Aussage gelte für ein \(k\ge3\). Zeige, dass die Aussage für \(k+1\) gilt.
Für alle \(k\ge3\) ist \(0<(k-2)\cdot(k+1)^2+1\) und damit$$(k+1)^3<(k+1)^3+(k-2)\cdot(k+1)^2+1=2k^3+3k^2\le3k^3.$$Nach Induktionsvoraussetzung folgt$$(k+1)^3<3\cdot3^k=3^{k+1}.$$