Rätsel und Beweis per Induktion

Question

a) Bestimmen Sie eine natürliche Zahl 0 ≤ k ≤ 6, sodass die Summe 10000

i² =12+22+32+...+100002 kongruent zu k modulo 7 ist. i=1

b) Finden Sie alle natürlichen Zahlen n ≥ 2, für die n5 + 4n − 35 eine Primzahl ist.

Begründen Sie jeweils Ihre Antworten. 

Answer 1

12+22+32+...+100002
= $$\sum _{ i=0 }^{ 99990 }{ (12+10i)\quad =\quad 99991*12\quad +\quad 10*\sum _{ i=0 }^{ 99990 }{ i }  } $$

= 99991*12 + 10 * 99990*99991/2
= 99991* ( 12 + 10*49995) und jetzt mal alles mod 7
= 3 * ( 5 + 3*1)
=3 * 8 = 3   (mod 7)
Also k=3.