Funktion mit Quotientenregel ableiten: f(x) = 1/(x - 1)

Question

Funktion mit Quotientenregel ableiten:

\( f(x) \frac{1}{x-1} \)

Answer 1

Hi,

dann mit der ersten Ableitung ganz normal weitermachen?

$$f(x) = \frac{1}{x-1}$$

$$f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}$$

$$f''(x) = -\frac{0 - 2(x-1)\cdot1}{(x-1)^4} = \frac{2}{(x-1)^3}$$

$$f'''(x) = \frac{0-3\cdot(x-1)^2\cdot2}{(x-1)^6} = \frac{-6}{(x-1)^4}$$

usw.

Besonders einfach hier, da der erste Summand im Zähler bei der Ableitung immer 0 wird, da wir ja nur eine Konstante haben, die abgeleitet werden soll. Dann nicht vergessen, dass nicht ausmultipliziert wird, denn es kann gekürzt werden. Voila.

Grüße

Answer 2

wie hast du denn die 1. Ableitung gebildet?

Mit Quotientregel

[f(x)=1/(x-1), also f´(x)= (0-1)/(x-1)^2 = -1/(x-1)^2]

oder durch Umschreiben mit Hilfe eines negativen Exponenten und Verwendung der Kettenregel

[(x-1)^-1, f´(x)=-1(x-1)^-2. Innere Ableitung muss nicht berücksichtigt werden, da sie 1 ist]?

Die zweite Variante ist wesentlich übersichtlicher: Dann kann man genauso weitermachen:
f´´(x) = -1*(-2)*(x-1)^-3, ...

Damit kriegst du es leicht hin. Bei der ersten Variante dagegen benötigt man doch noch die Kettenregel und muss kürzen, wodruch die höheren Ableitungen nicht so leicht hinzukriegen sind.

Ich hoffe, das hilft.

Comments

die erste ableitung habe cih mit Quotientregel  gelöst aber komme leider nicht weiter :D

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Kennst du denn die Kettenregel? (Oben habe ich einen Link angegeben)

Oder: ist dir klar, wie der Graph von 1/(x-1) aus der stinknormalen Hyperbel 1/x hervorgeht?

Das kann man oft gebrauchen: ersetzt man x durch x-1, so berschiebt sich der Funktionsgraph genau um 1 Läneneinheit nach rechts.

Es wird dich nicht erstaunen, dass sich alle Abelitungsfunktionen dazu mitverschieben.

Somit kannst du 1/x entsprechend oft ableiten und dann  einfach x durch (x-1) ersetzen.

Wenn dir die Quotienteregel lieber ist, musst du schon mehr arbeiten (und kürzen). Das hat The Unknown ja vorgemacht.

Liebe Grüße und viel Erfolg - welchen Weg du auch immer wählst.