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Beweis der Existenz einer Parametertransformation
Um zu zeigen, dass eine solche Parametertransformation \(\Phi: [0, L] \rightarrow [a, b]\) existiert, sodass die Kurve \(g := f \circ \Phi\) nach Bogenlänge parametrisiert ist, gehen wir schrittweise vor und nutzen den gegebenen Hinweis, indem wir uns auf die Inverse \(\Psi := \Phi^{-1}\) konzentrieren.
Schritt 1: Definition der Bogenlängenfunktion
Wir beginnen mit der Definition der Bogenlängenfunktion \(s: [a, b] \rightarrow [0, L]\), wobei \(L\) die Gesamtlänge der Kurve von \(a\) bis \(b\) ist.
\(s(t) = \int_a^t ||f'(\tau)|| d\tau\)
Diese Funktion misst die Länge der Kurve \(f\) vom Punkt \(a\) bis zu einem beliebigen Punkt \(t\), wobei \(||f'(t)||\) der Betrag des Geschwindigkeitsvektors der Kurve an jedem Punkt \(t\) ist, der die Geschwindigkeit des Kurvenpunktes im Hinblick auf den Parameter angibt.
Schritt 2: Eigenschaften von \(s(t)\)
Die Funktion \(s(t)\) ist stetig und streng monoton wachsend, da \(f\) eine reguläre Kurve ist und somit \(||f'(t)|| > 0\) für alle \(t \in [a, b]\). Das bedeutet, dass \(s(t)\) eine streng monoton wachsende und stetige Funktion ist, die das Intervall \([a, b]\) bijektiv auf \([0, L]\) abbildet. Daher existiert ihre Inverse \(\Psi: [0, L] \rightarrow [a, b]\), welche ebenso stetig und streng monoton wachsend ist.
Schritt 3: Definition der Inversen \(\Psi\) als \(\Phi^{-1}\)
Wir definieren nun \(\Psi := s^{-1}\), die inverse Funktion von \(s\), welche jedem Punkt im Intervall \([0, L]\) den entsprechenden Parameterwert in \([a, b]\) zuordnet, sodass die Länge der Kurve \(f\) bis zu diesem Parameterwert genau \(t\) ist.
Schritt 4: Konstruktion und Eigenschaften von \(g\)
Sei \(g = f \circ \Psi\). Da \(\Psi\) als inverse Funktion von \(s\) definiert ist, bedeutet \(s(\Psi(t)) = t\) für alle \(t \in [0, L]\). Die Kurve \(g\) ist nach Bogenlänge parametrisiert, weil die Ableitung \(g'(t)\) eine konstante Geschwindigkeit von \(1\) in Bezug auf den neuen Parameter \(t\) besitzt.
Formal lässt sich zeigen, dass \(||g'(t)|| = 1\) gilt:
\(g'(t) = (f \circ \Psi)'(t) = f'(\Psi(t)) \cdot \Psi'(t)\)
Da \(\Psi = s^{-1}\), ist \(\Psi'(t) = \frac{1}{s'(\Psi(t))} = \frac{1}{||f'(\Psi(t))||}\). Daher:
\(||g'(t)|| = ||f'(\Psi(t)) \cdot \frac{1}{||f'(\Psi(t))||}|| = 1\)
Wir haben gezeigt, dass durch die Parametertransformation \(\Phi = \Psi^{-1}\), die Kurve \(g = f \circ \Phi\) tatsächlich so parametrisiert wird, dass für alle \(t \in [0, L]\) die Geschwindigkeit \(||g'(t)||\) gleich \(1\) ist, was bedeutet, dass \(g\) nach Bogenlänge parametrisiert ist.
