Symmetrische Gruppen (S_(4), * ) über der Menge A= {1,2,3,4}

Question

Aufgabe:

Betrachtet wird die symmetrische Gruppe \( \left(S_{4}, \circ\right) \) iber der Menge \( A=\{1,2,3,4\} \)

(a) Untergruppen welcher Ordnung sind für \( S_{4} \) möglich?

(b) Gegeben sind die Permutationen \( \sigma=(1 \;4\;3\;2) \) und \( \tau=(1\;3) . \) Bestimmen Sie alle Elemente der von \( \sigma \) und \( \tau \) erzeugten Untergruppe \( U=\langle\{\sigma, \tau\}\rangle \) von \( S_{4} \) in Zyklenschreibweise. Ist \( U \) abelsch? Ist \( U \) zyklisch? Begründen Sie Ihre Antworten.

Ansatz:

zu a)

Habe ich mit dem Satz von Lagrange gelöst und meine Ergebnisse sind 2,3,4,6,8,12!

zu b)

Hier fehlt mir der Ansatz. Ich dachte mir vielleicht muss ich ja nur σ und τ multiplizieren? Aber wie mache ich da weiter?

Answer 1

(a)

1,2,3,4,6,8,12,24

(1 und 24 sind ebenfalls Teiler von 24)

(b)

Jedes mit jedem verknüpfen ergibt 4 Rechnungen und 2 neue Elemente; dann wieder jedes mit jedem; ergibt theoretisch 16 Rechnungen, wobei 4 schon gerechnet sind und Du die 7 mit 1234 = id weglassen kannst; dabei keine neuen Elemente mehr.

$$U = \left\{{1234 \choose 1234},{1234 \choose 1432},{1234 \choose 3214},{1234 \choose 3412}\right\}$$

In Zyklenschreibweise:

$$U = \left\{(1)(2)(3)(4),(1)(24)(3),(13)(2)(4),(13)(24)\right\}$$

Siehe auch:

https://www.mathelounge.de/24482/

Comments

Kannst du U in der zweiten Zeile noch löschen oder vor dem zweiten U ein = setzen, damit von Anfang an ersichtlich ist, dass du zwei mal die gleiche Gruppe hingeschrieben hast und man sogar die Elemente einander zuordnen kann?

---

Natürlich sind das die gleichen Mengen, sonst wurden nicht beide "U" heißen.

---

Jetzt sieht man das besser. Schön gemacht :)

Answer 2

b) eigentlich musst du alle möglichen s*s, s*s*s, .... t, t*t, t*t*t.... s*t, s*t*t,... berechnen und zudem ein neutrales Element in deine "erzeugte" Untergruppe aufnehmen.

Natürlich kann es da insgesamt nur nicht allzu viele Gruppenelemente geben. Untersuche die mal. Dann schau nochmals in deinen Unterlagen, ob da nicht noch etwas mehr steht.