Für zwei Mengen M,N mit N ist teilende von M betrachten wir die Gruppen G:=Potenzmenge von M und
H:= Potenzmenge von N , mit der symmetrischen Differenz "Dreieck" als Verknüpfung.
a) Zeigen Sie dass (H,"Dreieck") eine Untergruppe von (G,"Dreieck") ist.
b) Es sei nun noch zusätzlich G (und damit auch H) eine endliche Gruppe. Bestimmen Sie den Index von H in G.
Meine Ideen:
zu a)
Seien A und B Teilmengen von N, dann folgt ja daraus, das A und B auch Teilmengen von M sind, da:
N Teilmenge von M
Die symmetrische Differenz von A und B lautet:
(A "ohne" B) "vereinigt" (B "ohne" A) oder auch (A "vereinigt" B) "ohne" (A "geschnitten" B)
Für "Dreieck" gilt nun zu zeigen: Die Bedingungen, dass H Untergruppe ist:
1. H ungleich Leere Menge
2. a,b Element H => a "Dreicek" b Element H
3. a Element H => a-1 Element H (multiplikativ) oder -a (additiv)
zu 1.) ist ja trivial
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würde ich konkretisieren, etwa: Da H jedenfalls die leere Menge als Element enthält
aber zu 2.)
Wie soll man denn zeigen?***************************
seien . a,b Element Halso a,b Teilmengen von N
dann ist a \ b als Teilmenge von a auch Teilmenge von N
ebenso b \ a Teilmenge von N
und die Vereinigung zweier Teilmengen von N ist auch eine.
zu 3.)
das inverse zur symmetrischen Differenz von A und B ist doch A oder b oder?
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brauchst ja erst mal das neutrale Element, das ist die leere Menge {}
denn (a \ {}) u ( {} \ a ) = a u {} = a
dann ist invers zu a die Menge a selbst, denn
a Dreieck a = a \ a u a \ a = {} u {} = {}
und für a aus H liegt dann das inverse (weil es ja a ist) natürlich auch in H
Keine Ahnung ob meine Ansätze richtig sind aber ich wäre euch sehr Dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könntet!
zu b)
Hier verstehe ich nicht was das soll!
Der Index von H in G ist doch laut Lagrange: ord(G)/ord(H)
aber wie soll ich die Ordnung bestimmen. wenn ich nicht weiß wieviele Elemente Die Gruppe besitzt? Da steht zwar das sie endlich ist, aber ich weiß ja nicht bis wo ????
Sei n die Anzahl der El. von N und m die Anzahl der El. von M
dann ist die Anzahl der El. von H doch 2^n und bei G ist es 2^m
Dann ist das mit deiner Formel 2^m / 2^n = 2m-n
