Sind die Potenzmengen mit der Verknüpfung A ◦ B := M \ (A∆B) Gruppen bzw. Ringe?

Question

Folgende Fragestellung. Komm einfach nicht dahin.
Sei M eine nichtleere Menge. Für A, B ⊆ M definieren wir A∆B als symmetrische Differenz sowie
A ◦ B := M \ (A∆B) .
Entscheiden Sie:
(i) Sind (P(M ), ∆) und/oder (P(M ), ◦) Gruppen?
(ii) Sind (P(M ), ∆, ∩) und/oder (P(M ), ∆, ∪) Ringe?

Ich weiß bereits: 
Gruppe: Assioziativ, Neutrales Element und Inverses Element
Ring: zusätzlich kommutativ (abelsche Gruppe), assioziativ und neutrales Element bezüglich Multiplikation, Ring erfüllt Distributivgesetz bezüglich Aultiplikation, Addition

Comments

Schau mal hier https://www.mathelounge.de/175957/zeige-potenzmenge-angegebenen-verknupfungen-bildet-einen und bei den "ähnlichen Fragen".

Bei https://www.mathelounge.de/175957/zeige-potenzmenge-angegebenen-verknupfungen-bildet-einen kannst du auch nachfragen.

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Tut mir Leid für die Ungenauigkeit.
Mir fehlt vor Allem ein Ansatz für den Beweis der Gruppe von
(P(M ), ◦) von M \ (A∆B) der Assioziativität.

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(ii) mit dem Ring ist oben zu einer vorhandenen Frage verlinkt.

Dir fehlt anscheinend v.a. ein Ansatz für (i)

?

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Vielen Dank erstmal!

Ja für (i) - die symmetrische differenz ist klar, der Zweite Teil mit der Kringel Verknüpfung macht mir Probleme.. A ◦ B := M \ (A∆B)

Danke

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Bitte etwas Geduld zu (i). Könnte es sein, dass (i) keine Gruppe ist?

(ii) kannst du ja schon mal machen.

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Danke ich bin am Probieren der (ii)

!

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Hat das inzwischen funktioniert?

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Ja hat alles gut funktioniert. 
Bezüglich Distributivgesetz bin ich noch ein wenig unsicher. Ich komme auf das Ergebnis dass dieses bezüglich Schnitt ∩ gilt, nicht jedoch für die Vereinigung ∪?

Ist dir etwas zur A ◦ B := M \ (A∆B)  eingefallen?