Aufgabe:
Es sei \( \mathcal{P}(X) \) die Potenzmenge einer nichtleeren Menge \( X \). Sind \( A, B \in \mathcal{P}(X) \), so definieren wir die symmetrische Differenz \( \triangle: \mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X) \) durch
\( \triangle \)(A, B):=A\( \triangle \)B:=(A \(\cup\) B) \ (A \(\cap\) B) = (A \ B) \(\cup\) (B \ A).
(a) Zeigen Sie, dass \( \mathcal{P}(X) \) zusammen mit \( \triangle \) eine abelsche Gruppe bildet. Was ist das Nullelement dieser Gruppe? Wie lautet die Inverse zu \( A \in \mathcal{P}(X) ? \)
(b) Man zeige, dass \( (\mathcal{P}(X), \triangle, \cap) \) ein kommutativer Ring mit Eins ist.
Hinweis: (a) Wahrheitstafeln; Falls nur Aufgabenteil (b) bearbeitet wird, darf angenommen werden, dass \( (\mathcal{P}(X), \triangle) \) eine abelsche Gruppe ist. \(\cap\)
Problem/Ansatz:
Hallo, ich bräuchte mal Hilfe bei einer Aufgabe die ich nicht so ganz verstehe. Rechenweg wäre super. Danke
