Bestimmen sie wie viele m^3 Wasser zu diesem Zeitpunkt in dem Behälter

Question

Aufgabe: Ein zylinderförmige Wasserbehälter hat einen zu und einen Abfluss. Der Zufluss Z kann bei einer Messung mit der Funktion Z mit z(t)=e^{(t-2) modelliert werden, der Abfluss a mit der Funktion} a(t)=t^{2.   Zu Beginn der Messung befinden sich 25m3 in dem Behälter}

^{a) Zu welchen Zeitpunkt war der Wasserstand am niedrigsten? Bestimmen sie wie viele m^3 Wasser zu diesem Zeitpunkt in dem Behälter}

^{B zu welchen Zeitpunkt nimmt die Wassermenge in dem Behälter am schnellsten ab?}

^{Nach welcher Zeit befand sich im Wasserbehälter etwa die gleiche Wassermenge wie zu Beginn der Messung?}

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie man das berechnet

Comments

Modelliere den Wasserstand w als 25 + bisheriger Zufluss - bisheriger Abfluss:

w(t) = 25 + \( \int\limits_{0}^{t} e^{t-2} \, dt \) - \( \int\limits_{0}^{t} t^{2} \, dt \)

Answer 1

Hier nur die Ansätze mit Lösung.

f(t) = z(t) - a(t) = e^(t - 2) - t^2

F(t) = e^(t - 2) - t^3/3 - e^(-2) + 25

a)

f(t) = 0 --> t = 5.357

F(5.357) = 2.324 m³

b)

f'(t) = e^(t - 2) - 2·t = 0 --> t = 4.105

c)

F(t) = 25 --> t = 6.534