Mengen Operationen beweisen: A∆B = ∅ gilt genau dann, wenn A = B, d.h. a) wenn

Question

hallo ,

Für je zwei Mengen A und B nennen wir die Menge A∆B := (A\B)∪(B\A) die symmetrische Differenz von A und B. Zeigen Sie für alle Mengen A und B: A∆B = ∅ gilt genau dann, wenn A = B, d.h. a) wenn A = B, dann A∆B = ∅ und b) wenn A∆B = ∅, dann A = B

kann jemand mir helfen?

Answer 1

A∆B = ∅ gilt genau dann, wenn A = B, d.h.

a) wenn A = B, dann A∆B = ∅

A=B ==>

A∆B =  (A \ B) ∪ ( B \ A ) =    ∅  ∪  ∅  =  ∅

und b) wenn A∆B = ∅,

==>    (A \ B) ∪ ( B \ A ) =    ∅

Angenommen es sei A≠B, dann gibt

es entweder

1. Fall:  ein x∈A ∧ x ∉ B

==>    x∈A\B , dann wäre die

Vereinigung   (A \ B) ∪ ( B \ A ) nicht leer.

Widerspruch !

oder 2. Fall  ein   x∈B ∧ x ∉ A   .... analog

dann A = B