Unterschied zwischen Antisymmetrie und Totalität

Question

Ist die Relation „ ist eine Teilmenge von  “ auf der Grundmenge , der Menge aller Teilmengen von R  , eine Halbordnung bzw. eine Totalordnung?

Frage: Ist die Relation antisymmterisch?

    Ja, die Relation ist antisymmetrisch, weil aus  und B ⊆ A  die Gleichheit folgt.

Frage: Ist die Relation linear?

Nein, die Relation ist nicht linear. So ist weder noch ist  .

Das versteh ich nicht. Bei dem Nachweis der Antisymmetrie wurde gesagt, dass A = B ist, aber bei der Linearität wurde dem widersprochen. Ich weiß, wie AS und Linearität definiert sind, der Unterschied ist glaube nur ein "oder".

Kann man mir den Unterschied verständlich machen?

Answer 1

> Bei dem Nachweis der Antisymmetrie wurde gesagt, dass A = B ist

Nein, wurde es nicht. Es wurde argumentiert, dass wenn A⊆B und B⊆A ist, dann auch A = B ist. Es ist unzulässig, diese Schlussfolgerung darauf zu reduzieren, dass A = B ist. Die Prämisse (A⊆B und B⊆A) ist ein essenzieller Bestandteil der Aussage.

> aber bei der Linearität wurde dem widersprochen

Nein wurde es nicht. Es wurde bei der Linearität nicht behauptet, dass {1,2,3} ≠ {4,5,6} ist.

> der Unterschied ist glaube nur ein "oder".

Nein. Damit Antisymmetrie gilt, muss A = B sein, wenn A⊆B und B⊆A sind. Insbesondere sagt die Antisymmetrie nichts über A=B aus, wenn A⊆B nicht gilt.

Damit Linearität gilt, muss A⊆B oder B⊆A sein.

Answer 2

linear ist wohl das, was sonst auch oft "total" heißt.

Also von je zwei Elementen a und b gilt   aRb oder bRa .

Wenn also zwei weder in der einen noch in der anderen Richtung

in  der Relation stehen, dann ist sie nicht linear.

Bei antisymmetrisch ist es etwas anders; denn da gibt es dann

Elemente die in beiden Richtungen in der Relation stehen, und

wenn die Relation antisymmetrisch ist, darf das nur sein, wenn beide

Elemente gleich sind.

So ist es z.B. auch bei der Teilerrelation der ganzen Zahlen

wenn a Teiler von b und b Teiler von a ist, dann ist a=b

andererseits gibt es Zahlen, wo weder a Teiler von b nocht b Teiler von

a ist etwa 7 und 8.  Also ist auch diese Relation nicht linear.

Wohl aber die ≤ Relation bei den ganzen Zahlen, von je zwei ganzen

Zahlen a,b gilt immer a≤ b oder  b≤ a .

Die ist auch  antisymmetrisch ; denn aus

a≤ b und b≤ a  folgt    a=b .