Ungleichung für positive, reelle Zahlen beweisen. a/√b + b/√a ≥ √a + √b

Question

Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen bzw. einen Ansatz geben?

Gruß

Answer 1

a/√b + b/√a ≥ √a + √b  |  •  (√a • √b)

Wegen  √a • √a = a :

⇔ a • √a + b • √b  ≥ a • √b +   b • √a    | - b • √b  | - b • √a

⇔ a • √a  -  b • √a  ≥   a • √b  - b • √b  

√a bzw. √b ausklammern:

⇔ √a • (a-b)  ≥  √b • (a-b)  |  - [√b • (a-b) ]

⇔  √a • (a-b)  - √b • (a-b)  ≥  0

(a-b) ausklammern:

⇔  (a-b) • (√a - √b)  ≥  0

Letzeres ist wahr, weil wegen " a>b  ⇔√a > √b "

die Terme auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen haben

Gruß Wolfgang