V als ein R Vektorraum linear abhängig, bei C^2 als C-VR auch?

Question

Seien v1=(1+i,-2+i), v2=(-1+i,-1-2i), Vektorraum V=C^2

Zeigen Sie, dass v1,v2 linear unabhängig sind, wenn V als R-Vektorraum betrachtet wird:

Meine Gedanken:

C^2 als R-VR hat ja die Dimension 4, das heisst es ist sicherlich möglich, dass diese zwei Vektoren linear unabhängig sind.

Wie finde ich aber heraus, dass sie linear unabhängig sind?

Wenn wir nun C^2 als C-VR betrachten, sind dann diese Vektoren immer noch linear unabhängig?

Sehe den Unterschied nicht genau, kann mir jemand weiterhelfen. Also ich hätte gesagt es stimmt nicht, weil i in der Basis gar nicht mehr vorkommen muss oder liege ich da falsch?

Comments

Versuch doch zuerst eine Basis von C² aufgefasst als R-VR und dann eine Basis von C² aufgefasst als C-VR aufzustellen.

Dies sollte schon erste Unklarheiten besetigen.

Du solltest dir auch zuerst die Definitionen klar machen.

Wenn du zwei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfst, kannst du untersuchen, ob du den einen Vektor darstellen kannst, indem du den anderen Vektor mit einem Skalar aus dem Körper multiplizierst.

Eine mechanische Methode um gegebene Vektoren auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen ist die folgende:

Wähle eine Basis im Vektorraum, in welchem du auf lin-unabh. prüfen willst.

Stelle die Vektoren als Linearkombination der Basisvektoren dar.

Schreibe die dabei entstandenen Koeffizienten in die Spalten einer Matrix.

Prüfe (z.B.) mit Gauß/Determinante/etc. ob diese Matrix vollen Rang hat.

Wenn die Matrix vollen Rang hat, sind die Vektoren linear unabhhängig.

Answer 1

warum nicht den klassischen Ansatz x*v1 + yv2 = 0  mit x,y aus IR wählen.

Dann hast du

x*(1+i,-2+i)+y*(-1+i,-1-2i) = (0 ; 0 )

(x + ix ,-2x+ix)+(-y+iy,-y-2iy) = (0 ; 0 )

(x + ix -y+iy,  -2x + ix -y-2iy) = (0 ; 0 )

(x -y + ix +iy,  -2x -y  + ix -2iy) = (0 ; 0 )

(x -y +  (x +y)*i ,  -2x -y  +( x -2y) * i  ) = (0 + 0*i  ; 0 + 0*i  )

und damit das gilt, muss

x-y=0    und  x+y=0    und -2x-y = 0    und   x-2y = 0   sein.

Schon die ersten beiden zeigen: Das geht nur

für x=y=0. Also sind v1  v2 lin. unabh. im IR VR  C^2 

Comments

und als  C² als C-VR?

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Ich habe x=1 und y= i genommen und gezeigt, dass diese zwei Vektoren dann linear abhängig sind.

Danke für deine Hilfe!