Zwei Vektoren linear abhängig C-Vektorraum?

Question

Hallo liebe Mitglieder :)

Es geht um die lineare Abhängigkeit in ℂ²:

Zwei Vektoren: a = \( \begin{pmatrix} 1+i\\2i \end{pmatrix} \) , b = \( \begin{pmatrix} 1\\1+i \end{pmatrix} \)

Die 1 Frage lautet:  Zeige, dass a und b linear abhängig sind in ℂ² als ℂ-Vektorraum.

Eine vermeintlich nicht all zu schwere Aufgabe, wollte diese mit einem klassischen GLS lösen und i behandeln wie eine Konstante. Aber ich komme auf kein Ergebnis, ich weiß nicht was ich falsch mache. Wie folgt:

r(1+i)  +  s     =  0

r2i +   s(1+i)  =  0

⇒ s = - \( \frac{r2i}{1+i} \)

⇒ r(1+i) = r\( \frac{2i}{1+i} \)

⇒ r=s=0     laut Aufgabenstellung muss es jedoch linear abhängig sein?!?

Und die Frage 2 lautet: Zeige, dass a und b NICHT linear abhängig sind in ℂ² als ℝ-Vektorraum.

Diese Frage verwirrt mich jetzt noch mehr, mein Ansatz wäre, dass der imaginär Anteil gleich null sein müsste, also i = 0 und dann ein "einfaches" GLS aufstellen und zeigen, dass in dem Fall r und s gleich null sind. Oder liege ich da auch falsch?

Hier fehlt mir der richtige Lösungsweg...Freue mich über Hilfe bzw. eine Lösung. Vielen Dank vorweg!

Comments

Du hast r und s als reell vorausgesetzt. Du sollst aber lineare

Abhängigkeit über \(\mathbb{C}\) nachweisen.

Answer 1

Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn einer ein skalares

Vielfaches des anderen ist.

Nun ist \(a_1=(1+i) b_1\). Wenn nun auch gilt \(a_2=(1+i) b_2\),

dann ist \(a=(1+i) b\).

In der Tat ist \((1+i)b_2=(1+i)(1+i)=2i=a_2\), q.e.d.

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Auch dir, vielen Dank!

Dein Vorredner hat mir schon meinen Fehler dargelegt, und du hast mir den richtigen Weg gezeit, Danke :)

Answer 2

r(1+i) = r\( \frac{2i}{1+i} \)

Da warst du etwas vorschnell, denn es ist \( \frac{2i}{1+i} = 1+i \),

Jedes r ist also Lösung der Gleichung.

Wenn r und s reell sind (Das ist ja bei ℝ-VR so.)

dann hat schon die erste Gleichung

r(1+i)  +  s   =  0  nur die Lösung r=0

denn reelles r mal (1+i) gibt etwa nicht-reelles

und das müsst dann ja gleich -s sein, aber mit reellem

s ist auch -s reell.

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Vielen Dank, während ich deine Antwort lese, wird mir der Fehler klar. Im Prinzip habe ich mit einem reellen r die Frage 2 beantwortet. Ich denke jetzt ist es klar, ich muss r,s ∈ ℂ nehmen. Danke :)