Lösen der Gleichung z^2-4i=0

Question

Hallo liebe Leute,

ich habe lange nicht mehr mit komplexen Zahlen gerechnet und brauch ein wenig Hilfe wieder auf die Sprünge zu kommen. Ich muss folgende Gleichung lösen:

z^2-4i=0

Als Hinweis ist desweiteren gegeben das ich z=x+iy substituieren kann. Ich soll dann auf ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen kommen. 

Danke schon einmal im Voraus.

Answer 1

z²-4i=0

(x+iy)^2 - 4i = 0

x^2 + 2ixy - y^2 - 4i = 0

x^2 -y^2 + (2xy-4)i = 0 + 0i.

Gleichungssystem nach Trennung von Real- und Imaginärteil: 

(I) x^2 - y^2 = 0

(II)  2xy-4 = 0 

Bis hierhin kein Rechenfehler? Dann kommst du bestimmt selbst weiter. 

Zur Kontrolle: Die Lösungen z1 = √2 + (√2)i und z2= -√2 - (√2) i  

 in der komplexen Zahlenebene:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E2-4i%3D0

Comments

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, da war mein erster Ansatz ja gar nicht so verkehrt. Das hatte ich nämlich probiert aber keine zwei Gleichungen raus bekommen wie du. 

Mit dem Gleichungssystem hab ich trotzdem meine Probleme. Die Mathematik ruhte bei mir leider im letzten halben Jahr etwas. 

(I) x^2-y^2=0 

(II) 2xy-4=0

Kann ich dann einfach:

x^2=y^2

in II einsetzen (natürlich die Wurzel -> x)

und über 2x^2-4=0 auf

x^2=2 eine Lösung bekommen?

Und wieso hast du aus der einen Gleichung 2 machen können um das Gleichungssystem zu erstellen?

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Bei der Wurzel musst du noch aufpassen. 

x = ± y

Wobei der Part mit dem Minus dann wohl wieder etwas Nichtreales gibt.

x^2 = 2

x = ± √2. 

"Und wieso hast du aus der einen Gleichung 2 machen können um das Gleichungssystem zu erstellen? "

Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihr Realteil und ihr Imaginärteil gleich sind.