Unendliche Reihe auf Konvergenz untersuchen: ∑ n(1/3)^{n-1}

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

$$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } n \left( \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { n - 1 }$$

Ich denke mal das man die mit dem Quotientenkriterium lösen muss, aber was ist da jetzt mein a_n ??? Wie sehe ich das das es genau der Term ist?

Answer 1

Vereinfache den Term in der Summe mit Hilfe von Potenzgesetzen

n(1/3)^{n-1} = n (1/3)^n *(1/3)^{-1} = 3n*(1/3)^n

Eigentlich kannst du noch die 3 vor das Summenzeichen setzen.( Du kannst sie auch in an lassen. Dann kürzt sie sich beim Dividieren einfach weg.)

Und nun für an= n(1/3)^n = n/3^n ein geeignetes Kriterium anwenden.

an+1 / an          |Multiplikation mit Kehrwert

=(n+1)/ 3^{n+1}  * 3^n / n     |ein Bruchstrich, kürzen

= (n+1)/(3n)        |Summe von 2 Brüchen

= 1/3 + 1/(3n) < 2/3 für n≥1.

Somit ist die untersuchte Reihe konvergent nach Quotientenkriterium.

Comments

DANKE!!!!!!!!!!!!! Sehr verständlich erklärt