Reihe Summe n bis unendlich (n!/n^n) auf Konvergenz überprüfen

Question

Hallo Community,

ich weiß nicht genau wie ich bei der Aufgabe weiter vorgehen soll,

ich muss die Reihe Summe n bis unendlich (n!/n^n) auf Konvergenz überprüfen, bei der Reihe bekomme ich es nicht auf "Reihe" ;). Es fängt schon damit an das ich nicht weiß, wie ich auf diese Reihe das Nullfolgenkriterium anwenden kann. Habe schon ein bisschen rumprobiert, komme irgendwie jedoch auf kein tolles Ergebnis.

Quotienten und Wurzelkriterium führen dazu, das wenn ich die Zahlen 1 und 2 einsetzen würde, ich auf 1 kommen würde, und erst ab den weiteren Zahlen komme ich bei auf eine Zahl t < 1.

Oder muss ich ein ganz anderes Kriterium anwenden, um dies zu beweisen.

Answer 1

Mit dem Qutientenkriterium. Der Nenner ist größer als der Zähler.

Answer 2

Hallo,

Quotientenkriterium ist richtig.

allgemein lautet: (n+1)! =(n+1) n!

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n !}{n^{n}} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a n+1}{a n}\right| \quad \) Quotientenkriterium
\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(n+1) !}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^{n}}{n !}\right) \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(n+1) !}{n !} \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}(n+1)^{1}}\right) \)

\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(n+1) \cdot n !}{n !} \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n} \cdot(n+1)^{1}}\right) \)
\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{n}}{(n+1)^{n}}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)^{n} \)
\( =\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^{n}=\frac{1}{e}<1 \)
konvergent