Extremstelle im zweidimensionalen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien eine differenzierbare Funktion f:ℝ²→ℝ mit

grad f(1,1) = (4,5)

und die Kurve

c:ℝ→ℝ², t↦(t², t³).

Untersuchen Sie, ob die Funktion g:=f◦c an der Stelle 1 ein lokales Extremumbesitz

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, was ich mit grad f(1,1)=(4,5) anfangen soll. Ich habe auch einfach mal die Ableitung von c gebildet, Dies ist (2t, 3t²). Das hilft mir leider auch nicht weiter.

Answer 1

Es ist g(1) = f( 1^2 , 1^3 ) = f(1,1) .

Eine Funktion von ℝ^2 nach ℝ kann am Punkt (1,1) aber nur dann ein

Extremum haben, wenn der Gradient dort (0,0) ist, ist er aber nicht.

Answer 2

Aloha :)

$$g(t)=f(c_1(t),c_2(t))$$$$\frac{dg}{dt}(t)=\text{grad}\,f(c_1(t),c_2(t))\cdot\frac{d}{dt}\binom{c_1(t)}{c_2(t)}$$$$\frac{dg}{dt}(t)=\text{grad}\,f(t^2,t^3)\cdot\frac{d}{dt}\binom{t^2}{t^3}$$$$\frac{dg}{dt}(t)=\text{grad}\,f(t^2,t^3)\cdot\binom{2t}{3t^2}$$$$\frac{dg}{dt}(1)=\text{grad}\,f(1,1)\cdot\binom{2}{3}=\binom{4}{5}\cdot\binom{2}{3}=23\ne0$$Die Ableitung der Funktion \(g\) an der Stelle \(t=1\) ist \(23\). Daher liegt dort kein Extremum vor.