Zeigen durch vollständige Induktion, dass Summe in Körper assoziativ.

Question

folgende Aufgabe ist gegeben:
"Es seien a₁, a₂, ..., a_n Elemente eines Körpers K. Zeigen Sie duch vollständige Induktion: Die Summe dieser n Zahlen a_k ∈ K hängt nicht von der Art der Klammerbildung und der Reihenfolge (Umordnung) ab."

Mein Ansatz / Lösung:
Sei K ein Körper und a₁, a₂, ..., a_n Elemente des Körpers K. Dann existiert eine
endliche Menge A = {a₁, a₂, ..., a_n}. Weiterhin gilt ∀a∈A das Assoziativgesetz,
der Addition, da K sonst kein Körper bilden würde. Die Summe von n Zahlen aus
der Menge A ist somit unabhängig von der Art der Klammerbildung.
Zudem sei a₁, a₂, ..., a_n als n definiert.

Beweis:
∑ⁿ_a=1 (n) = a₁, a₂, ..., an
Aus A(1) folgt 1 = 1.
Behauptung: Dies gilt auf für n + 1.
Rechnung:
∑ⁿ⁺¹_a=1 (n) = n + (n + 1)
∑ⁿ_a=1 n+1 = n + (n + 1)
n + n + 1 = n + (n + 1)
n + n + 1 = n + n + 1

Stimmt meine Lösung? Wenn nicht, was habe ich falsch gemacht?

Florian T. S. :-)

Comments

Mir scheint, Du hast gar nicht kapiert, worum es geht. Was Du zeigen sollst, heisst allgemeines Kommutativgesetz. Fuer n=4 z.B. sollst Du zeigen:

(((a+b)+c)+d) = (d+((a+c)+b)) = ((c+a)+(d+b)) = (b+(d+(a+c))) = ...

(Alle moeglichen Reihenfolgen und Klammerungen.)

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Worum es geht weis ich. Nur wie ich es beweisen soll, ist mir noch nicht ganz klar.

Ich glaube ich habe hier zu engstirnig an der Summenformel festgehalten, daher gehe ich nochmal zurück zum Ursprung: Den Peano Axiomen.

Answer 1

Du benoetigst ein verallgemeinertes Induktionsprinzip (IS: Aus A(k) für alle k<n folgt A(n)). Die Induktion selber geht ueber die Anzahl der Additionen. Eine Addition ist immer die letzte: ( (........) + (........) ). Nun haben die beiden ...-Ausdruecke mindestens ein + weniger, für sie gilt die Aussage dann per Induktionsannahme. Zeige im IS, dass die Aussage dann auch für den ganzen Ausdruck gilt. Das ist ein ziemlich technischer Beweis, für den ich Dir viel Spass wuensche!

Comments

Der letzte Kommentar ist ja die Antwort.

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ia2244: Das nennt sich doch Assoziativgesetz (?...). Ansonsten ist dein "letzter Kommentar" nun eine Antwort.

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Wenn man nur umklammern koennen soll, dann allgemeines Assoziativgesetz. Wenn man zusaetzlich noch beliebig umordnen koennen soll (wie hier), dann allgemeines Kommutativgesetz.

(Tipp: Unter den Namen kann man das auch googlen und teilweise mehr Details zum Beweis finden.)