Zeige Konvergenz mit Wurzelkriterium wobei Quotientenkriterium nicht geht

Question

(a) Definiere an = 2^-n für gerades n e N  an = 3^-n ür ungerades n e N.

Zeige, dass die Konvergenz der Reihe $$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n $$  aus dem Wurzel-Kriterium

folgt und dass aber das Quotienten-Kriterium keinen Schluss über die Kon-

vergenz von $$ \sum_{n=0}^{\infty}a_n $$ zulässt.

(b) Untersuche die Reihen  $$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n $$ und $$ \sum_{n=1}^{\infty}b_n $$ auf Konvergenz, wobei

$$ a_n= \frac{1}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n} $$

$$ b_n= \frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2} $$ für alle $$n\geq 1 $$

Answer 1

a) Es ist ja \( \sqrt[n]{a_n} \leq \frac{1}{2} \). Warum das QK nicht klappt kannst du dir selber daran deutlich machen, wenn du \(n+1\) als gerade annimmst.

b) Die erste Summe kann als Summe zweier konvergenter Summen geschrieben werden,

Die zweite Summe kann als Summe einer divergenten und einer konvergenten Summe geschrieben werden. Den Rest kannst du dir bestimmt denken.

Gruß

Comments

Danke für deine Hilfe. Habe noch eine kleine Frage zu a. Wie sieht den genau die Reihe aus, stimmt:

$$ \sum_{n=0}^{\infty}{2^{-2k}+3^{-2k+1}} $$

oder wie kommst du auf dieses 1/2?

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Fast:

$$ \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-2k}+3^{-(2k+1)} $$

durch diese Darstellung ist dein \(a_n\) aber nicht dasselbe wie aus der Fragestellung.

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Wie kann man dann die Kriterien gebrauchen, wenn man gar kein an vorgegeben hat? Oder hast du mit einem anderen an gearbeitet?

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Ist doch in Worten wiedergegeben:
$$ a_n = \begin{cases} 2^{-n}, \text{ falls n gerade} \\ 3^{-n}, \text{ falls n ungerade} \end{cases}$$
Damit ist \(a_n\) immer kleiner gleich \(2^{-n} \).

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Wie kann ich dann das Quotientenkriterium bzw. das Wurzelkriterium anwenden:

QK:  3^n/2^n ?

WK: reicht mir das, wen ich weiss, dass es kleiner ist als 2^-n

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So wie sonst auch und QK wird dir keine Aussage liefern (das sollst du ja begründen warum).
Zum WK hab ich dir doch oben in der Antwort schon was geschrieben, warum versuchst du es nicht einfach mal und schaust wo es dich hinführt.