PQ-Formel bei Komplexer Zahl

Question

Hallo ihr,

Ich hänge gerade bei einer Aufgabe zu den komplexen Zahlen. Wir sollen dabei folgende Gleichung lösen:

0=z^2+(1+i)z+2(i-1)

da es sich dabei ja scheinbar um eine quadratische Gleichung handelt, habe ich mir gedacht das man das ganze mit PQ-Formel lösen können müsste (des weiteren waren der Hinweis das man die Lösung mit dem Satz von Vieta überprüfen soll und die Benennung der Koeffizienten mit p/q doch hilfreich ;) )

aus der PQ-Formel habe ich jetzt:

-(1+i)/2 ± √(((1+i)^2/4)-2*(i-1))

bzw.

-(1+i)/2 ± √((2i/4)-2(i-1))

und daraus dann:

-(1+i)/2 ± √((i-4i-4)/2)

Nur wie gehe ich jetzt weiter vor? In meiner Vorlesung war dies noch kein Thema, aber natürlich schon eine Aufgabe dazu.

Answer 1

(1) Mit Vieta
Erkenne oder rate die ganzzahlige Nullstelle \(z_1=-2\).
Aus \(z_1+z_2=-(1+i)\) folgt \(z_2=1-i\).

(2) Mit \(pq\)-Formel$$z^2+(1+i)z+2(i-1)=0$$$$z_{1;2}=-\frac{1+i}2\pm\sqrt{\left(\frac{1+i}2\right)^2-2(i-1)}$$$$\quad=-\frac{1+i}2\pm\sqrt{\frac{8-6i}4}$$$$\quad=-\frac{1+i}2\pm\frac{3-i}2$$$$z_1=-2$$$$z_2=1-i.$$

Comments

Vielen Dank, jetzt bin ich auch drauf gekommen. Da ich den Satz von Vieta nur für das überprüfen der Lösungen nutzen darf, muss ich es über die PQ-Formel machen. Könntest du mir bitte den Schritt erklären wie du die Wurzel ziehst? Ich habe den Schritt den ich meine als Screenshot angehängt, da ich gerade mit dem Handy online bin.

Danke schon einmal.

---

Gesucht sind reelle \(x,y\) mit \((x+yi)^2=8-6i\). Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich liefert das nichtlineare Gleichungssystem \((1)\ x^2-y^2=8;\ (2)\ 2xy=-6\).