Gegeben: 2 Punkte A(1|0) und B(4|2) und 1 Gerade g. Gesucht: Punkte P auf g für die das Dreieck ABP rechtwinklig ist.

Question

Aufgabe:

Ich habe 2 Punkte A(1|0) und B(4|2) und eine Gerade als Vektorschreibweise:

$$g \div x = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \end{array} \right) + t \times \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right)$$

Gesucht sind die Punkte auf g für die das entstehende Dreieck ABP rechtwinklig ist.

Brauche irgendwie einen Lösungsansatz. Thema allgemein ist im Moment Vektoren und Ebenen (Klasse 11).
 

PS: Sollte ein Doppelpunkt und kein Divisionszeichen sein. g: Vektor x =

Answer 1

Ich schreibe unten Vektoren fett (statt Pfeile und Spalten)

A(1|0) und B(4|2) ,  P(2+3t| t)

AB = (3|2), AP=(1+3t| t), BP = (-2 +3t| t-2)

AB * AP = 3(1+3t) + 2t = 3 + 9t = 0 → t = -1/3 .            P1(-3| -1/3)

AB*BP = 3(-2 + 3t) + 2(t-2) = -6 + 9t + 2t -4 = 0 

------> -12 + 11t = 0; t = 12/11                                P2(2 + 36/11 | 12/11 - 2)=P2(58/11 | -10/11)

AP*BP = (1+3t)(-2 +3t) + t(t-2) = 0

-2 -6t +3t + 9t^2 + t^2 - 2t = 0

10t^2 - 5t -2 = 0

t= 1/20 (5 ± √(25 + 80))  

= 1/20 (5 ± √(105))   

----------> P3 und P4 wie oben wieder t bei P einsetzen. Hier bringt man die Wurzel leider nicht mehr weg ohne auf numerische Werte auszuweichen.

Rechne aber bitte erst noch mal sorgfältig nach, vor allem, wenn bei euch die Aufgaben normalerweise schöner aufgehen.

Minimalkontrolle: Skizze und alle gefundenen Punkte einzeichnen.

Comments

vielen dank für die antwort, hat mir schonmal weitergeholfen!

aber eine Frage habe ich noch.. wie bist du an P(2+3t|t) gekommen?

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Ok. Das mit dem allgemeinen Ortsvektor war wirklich nicht speziell ausführlich. Hier noch ein Nachtrag:

In der Parametergleichung für Geraden kannst du die Koordinaten der Punkte auf der Geraden ablesen, da dein x = ein Ortsvektor ist, der auf die PUnkte der Geraden zeigt.

Nun kannst du bei x rechts erst mal t in den Richtungsvektor reinmultiplizieren (3t|t) und dann die beiden Vektoren komponentenweise addieren (2+3t|0+ t) 

Vom (allgemeinen) Richtungsvektor kommt man dann auf den (allgemeinen) Punkt, indem man die Komponenten nebeneinander und nicht untereinander schreibt:
P(2+3t | 0 + t)

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ah vielen dank!
und was mache ich im 3-dimensionalen mit der x3 zeile?

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Eigentlich genau dasselbe. Beim Skalarprodukt AB * AP etc. hast du einfach eine Zeile mehr.

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stimmt das macht sinn.. :)

Answer 2

Hi, wenn der rechte Winkel an der Ecke B sein soll, setze Vektor(AB)*Vektor(BP) = 0 (mit * als Skalarprodukt). Die entstehende Gleichung ermöglicht es, zunächst den Parameter t und damit dann den gesuchten Punkt P zu bestimmen.

Natürlich kann der rechte Winkel ebenso gut an einer der anderen Ecken liegen; es sind also mehrere P's als Lösung zu erwarten...