Ein Paar Fragen zum Archimedes Axiom

Question

Also, wenn ich an das Archimedes Axion denke, fällt mir folgendes ein, man kann x < y mithilfe von einer natürliche Zahl n in nx ≥ y umwandeln. Also kann man sozusagen, wenn man eine Zahlengerade betrachtet, die größere Strecke y, auch als ein vielfaches der kleineren Strecke x darstellen oder sogar größer als y darstellen..

Archimedes Axiom (3 Varianten)

∀ x > 0, y>0 ∃ n ∈ ℕ : nx ≥ y

∀ x > 0, ∃ N ∈ ℕ : x ≤  N

∀ x > 0, ∃ N ∈ ℕ : (1 / N ) ≤  x

Folgendes ist mir noch nicht klar:

Das Archimedisches Axiom lautet:

"Es gibt keine zwei Zahlen x und y, so dass y in Relation zu x unendlich groß ist

„Es gibt keine positiven, unendlich kleinen oder unendlich großen reellen Zahlen.“

Woher kommen diese Aussagen? Wurde nicht lediglich das oben genannte ausgesagt?

Und ich habe in einem Analysis Buch, von einem Zusammenhang zwischen Supremum und Archimedes Axiom gelesen, unter anderem gab es eine Aufgabe in der das Archimedes Axiom mithilfe der Supremumeigenschaft bewiesen werden sollte. Wie ist der Zusammenhang zwischen Supremum und Archimedes Axiom?

Answer 1

"Es gibt keine zwei Zahlen x und y, so dass y in Relation zu x unendlich groß ist

ist die entsprechende Aussage zu

∀ x > 0, y>0 ∃ n ∈ ℕ : nx ≥ y

„Es gibt keine positiven, unendlich kleinen oder unendlich großen reellen Zahlen.“

Das sind die anderen beiden Versionen

unendlich groß würde ja heißen: Es wird von keinem n aus N überschritten

und  unendlich klein aber positiv  würde ja heißen: Es wird von keinem 1/n aus N unterrschritten

Woher kommen diese Aussagen? Wurde nicht lediglich das oben genannte ausgesagt?     Ja!

Und ich habe in einem Analysis Buch, von einem Zusammenhang zwischen Supremum und Archimedes Axiom gelesen, unter anderem gab es eine Aufgabe in der das Archimedes Axiom mithilfe der Supremumeigenschaft bewiesen werden sollte. Wie ist der Zusammenhang zwischen Supremum und Archimedes Axiom?

zum Beispiel:  Supremum aller negativen Zahlen ist 0
könnte man ja so beweisen:   0 ist obere Schranke, aber es gibt
keine kleinere. Denn wäre x eine kleinere ob. Schr., dann wäre x<0
und für alle y<0 müsste  y≤x gelten.
und damit  -x  ≤  - y
wobei dann ja    -x  und   - y postiv sind . Damit wäre dann das
x sozusagen die kleinste positive Zahl ( weil alle -y größer oder gleich wären)
Und die gibt es eben nicht. Also gibt es kein solches x
also keine kleinere ob. Schranke für R^- als 0.

Comments

Nein mathef, du verwechselt das mit der Äquivalenz zwischen Vollständigkeitsaxiom (nach dem Intervallschachtelungsprinzip) und dem Supremumsaxiom.

Answer 2

Hallo Gast,

man kann x < y mithilfe von einer natürliche Zahl n in nx ≥ y umwandeln

Nur wenn x und y größer als 0 sind.

„Es gibt keine positiven, unendlich kleinen oder unendlich großen reellen Zahlen.“ 

Nach dem archimedischen Axiom findest du zu jeder positiven reellen Zahl eine positive reelle Zahl die größer und eine die kleiner ist. (Das ganze kann man natürlich auch für negative Zahlen und somit für alle reellen Zahlen ausweiten).

Wie ist der Zusammenhang zwischen Supremum und Archimedes Axiom? 

Wähle eine beliebige Zahl \(x >0 \). Lass uns annehmen es gäbe eine reelle Zahl \(y\), so dass \( nx \leq y \) für alle \(n \in \mathbb{N} \) gilt. Das bedeutet, die Menge \( \{nx | n \in \mathbb{N} \} \) wäre nach oben beschränkt, da \(y\) eine obere Schranke wäre. Aus der Supremumseigenschaft geht hervor, dass die Menge ein Supremum \(s\) besitzt.

Das würde aber bedeuten, dass \((n+1)x \leq s \), und somit \( nx \leq s-x\) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Damit kann \(s\) kein Supremum sein und somit ist die per Widerspruch gezeigt, dass es keine positive Zahl \(y\) gibt, die die obige Eigenschaft erfüllt.

Gruß

Comments

Wie beweise ich besipielsweise, unter Verwendung der Supremumseigenschaft:
Seien x; y∈ℝ_>0⁺ ,dann existiert eine natürliche Zahl n∈N derart, dass gilt y < n * x

y < n * x ⇔(y/n) < x x=Sup(y/n)....?

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Den Beweis habe ich dir doch hingeschrieben, oder was meinst du? Was soll bewiesen werden?

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Oh, stimmt. Du hast das Ganze nur als Widerspruchsbeweise dargelegt. Tur mit Leid, dieses ganze beweisen ist für mich noch Neuland, da kommt es schon mal vor, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht sehe.

"Das würde aber bedeuten, dass (n+1)*x ≤ s ⇔nx ≤ s-x für alle n ∈ℕ Warum hast du (n+1) benutzt ?                         

nx ≤ s-x  wieso folgt daraus, dass es kein Supremum gibt?                                            

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Weil daraus folgt, dass das angebliche Supremum \(s\) nicht die kleinste obere Schranke der Menge ist.