Verständnisfrge Archimedes Axion

Question

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Archimedisches_Axiom#Bedeutung_des_archimedischen_Axioms

Wenn y  bezüglich x unendlich groß ist, dann ist x/y eine unendlich große Zahl, also eine Zahl, welche größer als jede natürliche Zahl ist. Analog ist  x/y eine unendlich kleine Zahl, welche kleiner als jede positive rationale Zahl ist. Da es aber nach dem archimedischen Axiom keine solche Zahlen x und y geben kann, schließt es auch die Existenz unendlich kleiner oder unendlich großer Zahlen aus

Die natürlichen Zahlen sind doch selber unendlich, auch wenn sie nicht die Mächtigkeit von den reellen Zahlen haben, stimmt die Mächtigkeit mit den rationalen Zahlen doch überein. Wieso kann es dann keine unendlich große Zahl geben?  Oder ist damit gemeint, dass es keine Zahl gibt, die größer als unendlich ist?

Die Frage ist analog, für den Fall mit der unendlich kleinen Zahl bzgl. der rationalen Zahlen.

Comments

TeX-Befehle müssen in Klammern \ ( ... \ ) (ohne Leerzeichne zwischen Backslash und Klammer) oder in doppelte Dollarzeichen eingebettet werden.

Zum Testen dient das TeX-Tool unter https://www.matheretter.de/rechner/latex.

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Das kaputte Latex kommt so raus, wenn man einfach Copy & Paste aus dem Wiki macht. Lustigerweise steht da aber natuerlich y/x und nicht x/y für die vermeintlich unendlich grosse Zahl.

Answer 1

Zitat: "Die natürlichen Zahlen sind doch selber unendlich, auch wenn sie nicht die Mächtigkeit von den reellen Zahlen haben, stimmt die Mächtigkeit mit den rationalen Zahlen doch überein."

Hier geht bei dir zweierlei durcheinander: Die Größe einer Zahl einerseits und die Mächtigkeit einer Zahlenmenge andererseits. Archmimedes macht eine Aussage über die Größe von Zahlen.

Archimedes schließt [...] die Existenz unendlich kleiner oder unendlich großer Zahlen aus. Das macht insofern Sinn, als ein Wettbewerb mit dem Ziel, die größte Zahl zu nennen, nicht gewonnen werden kann (entsprechendes gilt für das Nennen der kleinsten positive Zahl).

Die Infinitesimalrechnung spricht indessen von unendlich kleinen (DIfferentiale) und unendlich großen Zahlen. dies erfordert eine Sichtweise, die Archimedes noch nicht kannte.

Answer 2

eine Zahl, welche größer als jede natürliche Zahl ist.   ???Das ist doch  eh Unsinn, da es zu jeder Zahl x aus R (also auch aus N) eine natürlicheZahl gibt, die größer ist.