(a) Seien zusätzlich \(a,b>0\). Aus dem archimedischen Axiom folgt
\(\exists n\in \mathbb{N}:\ n\cdot (b-a) > 1\)
also
\(\exists n\in \mathbb{N}:b-a > \frac{1}{n} > 0\).
Sei \(n \in \mathbb{N}\) mit \(\frac{1}{n} < b-a\).
Sei \(z = \min \{m\in \mathbb{N}|\ m\cdot \frac{1}{n} > a\}\).
Dann ist \(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q}\) und \(a < \frac{z}{n} < b\).
(b) Wähle \(x_{n+1}\in \left(\frac{x_n+b}{2},b\right)\).
(c) Sei \(x\in \mathbb{R}\) und \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine rationale Folge, die gegen \(x\) konvergiert. Weil \(f\) und \(g\) stetig sind, konvergieren \((f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) und \((g(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) gegen \(f(x)\) bzw. \(g(x)\).