Beweis für rationale Zahlen in offenem Intervall + Folgerungen daraus

Question

Aufgabe:
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe des archimedischen Axioms ohne Benutzung von b-adischen Brüchen, dass jedes offene Intervall (a, b) mit a < b eine rationale Zahl
enthält.
(b) (2 Punkte) Folgern Sie aus Teil (a), dass es zu jeder Zahl x ∈ ℝ eine Folge (xn) in ℚ
mit limn→∞ xn = x gibt.
(c) (2 Punkte) Seien f, g : ℝ → ℝ stetige Funktionen mit f(x) = g(x) für alle x ∈ ℚ.
Zeigen Sie: Dann gilt auch f(x) = g(x) für alle x ∈ ℝ.

Problem/Ansatz:

a) ich weiß, dass das archimedische Axiom besagt: ∀x,y > 0 ∃ n∈ℕ: n*x > y. ich hab aber keine Ahnung, inwiefern mir das hier weiterhilft.

b) ich kann leider nichts aus a) folgern, wenn ich kein a) hab

c) wichtig ist, dass:

   1. die Definitionsmenge von f und g ist ℝ

   2. f und g stetig sind

wie schreib ich das jetzt in nen mathematisch korrekten Beweis?

Answer 1

(a) Seien zusätzlich \(a,b>0\). Aus dem archimedischen Axiom folgt

        \(\exists n\in \mathbb{N}:\ n\cdot (b-a) > 1\)

also

      \(\exists n\in \mathbb{N}:b-a > \frac{1}{n} > 0\).

Sei \(n \in \mathbb{N}\) mit \(\frac{1}{n} < b-a\).

Sei \(z = \min \{m\in \mathbb{N}|\ m\cdot \frac{1}{n} > a\}\).

Dann ist \(\frac{z}{n}\in \mathbb{Q}\) und \(a < \frac{z}{n} < b\).

(b) Wähle \(x_{n+1}\in \left(\frac{x_n+b}{2},b\right)\).

(c) Sei \(x\in \mathbb{R}\) und \((x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine rationale Folge, die gegen \(x\) konvergiert. Weil \(f\) und \(g\) stetig sind, konvergieren \((f(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) und \((g(x_n))_{n\in\mathbb{N}}\) gegen \(f(x)\) bzw. \(g(x)\).