Frage zum archimedischen Axiom

Question

Im allgemeinen habe ich das archimedische Axiom so kennen gelernt :

∀a, b ∈ ℝ mit a > b ∃ n ∈ ℕ : bn > a

Aber wenn ich nun einen Körper K habe und will in ihm prüfen ob er archimedisch ist, dann muss ich doch ℝ und ℕ ersetzen oder?

Comments

Erstmal muessen a,b>0 sein. a>b ist unnoetig. Ansonsten musst Du natuerlich \(\mathbb{R}\) durch \(\mathbb{K}\) ersetzen. \(\mathbb{N}\) kann bleiben, wenn man na := a+a+...+a (n Summanden) setzt.

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Erstmal danke, das ich das + bei R vergessen hab ist mir nicht aufgefallen. Also das wäre dann :

K ist archimedisch wenn gilt,

∀ a, b ∈ K⁺ mit a<b Ε n ∈ ℕ : bn > a

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An sich ja. Aber es gibt nicht so furchtbar viele archimedisch angeordnete Koerper, wie Du weiter unten ja schon gehoert hast.

Answer 1

In beliebigen Körpern macht das gar keinen Sinn, weil du im Allgemeinen keine Ordnungsrelation auf dem Körper gegeben hast.

Comments

Wie prüfe ich denn, ob in einem Körper das archimedische Axiom gilt bzw. wann heißt ein Körper archimedisch ?

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Jeder archimedisch geordnete Körper ist isomorph zu einem Teilkörper der reellen Zahlen.

Wie man das archimedische Axiom aus dem Vollständigkeitsaxiom für die reellen Zahlen herleitet, steht hier.

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Aber bezieht sich dieser Beweis nicht nur auf geordnete Körper ? Aber es gibt doch auch ungeordnete archimedische Körper ?

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Das Archimedische Axiom macht doch ohne eine Ordnungsrelation überhaupt keinen Sinn.

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Also gibt es keine unangeordneten Archimedischen Körper ?

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Und was willst du mir mit dem Link sagen?

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Nichts der Link ist ja auch schon weg

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OK.
Nein, es gibt keine nichtgeordneten archmedischen Körper. Die Definition beginnt ja schon mit: "Ein archimedischer Körper ist ein geordneter Körper mit der Eigenschaft ...".

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Wie steht der Zusammenhang mit dem bewerteten Körper ??

Also ein bewerteter Körper muss angeordnet sein aber nicht archimedisch ??

Aber ein archimedischer Körper muss bewertet sein?

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Was ist ein bewerteter Körper?

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Ich habe ihn so kennen gelernt

Ein Körper K heißt bewertet wenn in ihm eine Abbildung K -> ℝ mit x -> |x| mit den folgenden Regeln :

|x|≥0 für alle x aus K und |x| = 0 --> x = 0

|xy| = |x|*|y| für alle x, y aus K

und die Dreiecksungleichung gilt für alle x, y aus K

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Und? Das gilt z.B. für die komplexen Zahlen so mit dem komplexen Betrag. Dadurch werden die komplexen Zahlen selber nicht angeordnet, was ja bekanntlich gar nicht geht.

Answer 2

Die Relation " > " sollte allererst definiert sein; mit den komplexen Zahlen |C dürftest du da so deine Schwierigkeiten haben. Mit ===> Charakteristik p > 0 geht es auch nicht.