Archimedischen Axiom Bernoullische Ungleichung

Question

a) Sei h∈ℝ und h>0. Erläutern sie mithilfe des archmedischen axioms: Die Folge( a_n ) _n∈ℕ mit a_n = 1+nh ist nicht nach oben beschränkt. Zeigen sie hierfür: Für jedes L ∈ℝ gibt es  n∈ℕ mit a_n > L.

b) Sei q ∈ℝ mit q>1. Erläutern sie mithilfe des Ergebnisses aus Teil a): DIe Folge (b_n)_n∈ℕ mit b_n =qⁿ ist nicht nach oben beschränkt. Hinweis: Schreiben sie q= 1+h und verwenden sie die Bernoullische Ungleichung.

Comments

Ansätze stehen doch direkt in der Aufgabe, wo also genau ist das Problem? Hier muss man ja nicht mehr machen als Ungleichungen umformen.

Answer 1

 a_n = 1+nh    h>0    Für jedes L ∈ℝ gibt es  n∈ℕ mit a_n > L.

an > L bedeutet 1+ n*h > L  also   n * h > L-1

Reicht zu zeigen, dass für alle großen Werte von L (z.B. L > 1   und L> h+1 )

die Bedingung gilt.   Nach Archimedes gibt es für alle y > x > 0 ein n mit n*x>y

wähle hier y=L-1 und x=h dann steht es da.

b)b) Sei q ∈ℝ mit q>1. Erläutern sie mithilfe des Ergebnisses aus Teil a):

DIe Folge (b_n)_n∈ℕ mit b_n =qⁿ ist nicht nach oben beschränkt.

Hinweis: Schreiben sie q= 1+h und verwenden sie die Bernoullische Ungleichung.

Für q>1 ist q = 1+ h und h>0

Nach Bernoulli ist    bn = (1+h)^n > 1 + n*h also nach 1) nicht nach oben beschränkt.

Comments

Danke für die Hilfe. Aber ich kann trotzdem mit den Indormationen und Hilfestellungen nicht weiter arbeiten. Ich versteh nicht was ih machen soll.

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Wie lautet denn die Formulierung des Archimedischen Axioms, die du kennst ?

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Für alle k ∈ℝ gibt es ein n∈ℕ mit n>k

monoton wachsend , wenn für alle n∈ℕ gilt: a_n+1 > a_n

monoton fallend, wenn dür alle n∈ℕ gilt : a_n+1 < (kleiner oder gleich)a_n

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nach oben beschränkt heißt ja wohl:

Es gibt ein c aus IR mit an <= c für alle n aus IN.

Es hieß ja:

Zeigen sie hierfür: Für jedes L ∈ℝ gibt es  n∈ℕ mit a_n > L.

und das heißt, wenn man sich vorstellt, dass L eine

onere Schranke sei, aber es gibt ein an > L,

dann gibt es eben keine oberen Schranken. Es genügt also

wirklich dem Tipp zu folgen:

Zeigen sie hierfür: Für jedes L ∈ℝ gibt es  n∈ℕ mit a_n > L.

Für an hast du ja eine Definition:

a_n = 1+nh   wobei h>0 irgendeine positive reelle Zahl ist.

wenn du nun also zeigen willst:     an > L

dann setzt du einfach für an die Def. ein und hast

1+nh     >  L   umgeformt

n*h > L-1   und wenn du durch h dividierst

(Das kann man, weil h > 0 ist )

n  >    (L-1) / h

und jetzt hast etwas, was dir durch das Archimedische Ax.

garantiert wird, wenn du dir für k den Ausdruck    (L-1) / h denkst.

Für alle k ∈ℝ gibt es ein n∈ℕ mit n>k 

also gibt es auch ein n mit   n >   (L-1) / h

und das musste ja gezeigt werden q.e.d.