nicht-archimedisch angeordneter Körper

Question

Aufgabe:

Es sei \( \mathbb{R}[x] \) der Ring der reellen Polynome in einer Veränderlichen. Für \( f, g \in \mathbb{R}|x| \) schreiben wir

\( f \leq g \quad : \Leftrightarrow \quad \exists s \in \mathbb{R} \forall_{t} \geq s: \quad f(t) \leq g(t) \)

a) Beweisen Sie, dass \( \leq \) eine Anordung auf \( \mathbb{R}[x] \) ist.

b) Seien \( R:=\mathbb{R}[x] \) und \( R^{*}:=\mathbb{R}[x] \backslash\{0\} . \) Auf \( R \times R^{*} \) ist durch

$$ (f, g) \sim(p, q) \quad : \Leftrightarrow \quad f \cdot q=g \cdot p $$ (...)

Answer 1

Du musst die Axiome prüfen:

1. reflexiv: also für alle f gilt   f ≤ f 

Also zu prüfen, ob für alle Polynome f gilt:

Es gibt ein s so dass für t≥s gilt   f(t) ≤ f(t) .

Wegen des "gleich" ist das erfüllt.

2. Antisymmetrisch:  Für alle f,g gilt 

f ≤ g und  g≤ f  ===>   f=g .

Gilt hier; denn f ≤ g und  g≤ f  heißt ja:

Für genügend große t gilt immer 

f (t)  ≤ g(t)    und  g(t)  ≤ f  (t)    , also stimmen die

Polynome für große t überein. Wenn sie aber an unendlich vielen

Stellen übereinstimmen, sind sie gleich.

etc. die anderen Axiome.

Comments

ok , ich hab verstanden und ich werde die anderen Axiome machen

vielen Dank hat geholfen :)