Ab dem wievielten Folgenglied gilt : an< 0,05?

Question

Die Folge lautet: an= (2+3n)/(n²+1)

Ab dem wievielten Folgenglied gilt : an< 0,05?

Ich bitte um Hiöfe, weil ich nicht auf die richtige Lösung komme.

Answer 1

5/100=(2+3n)/(n^2+1) | *(n^2+1)  ergibt primitive quadr. Gleichung (pq-Formel oder abc-Formel)

n= 30 +/- Wurzel(939)

da Folgen nur >0 bekommt man eindeutige Lösung

Iterationsrechner zur Kontrolle:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@Ni=0;@N@Bi]=(2+3*i)/(i*i+1)%20;@Ni%3E61@N0@N0@N#

Comments

Und wie kann man das mit einem ganz normal taschenrechner lösen?

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wie man die Gleichung umstellt und von der  pq-Formel auf

n= 30 +/- Wurzel(939) kommt, sollte jeder Schüler kennen.

Dann gibt man beim Taschenrechner 939 ein

dann Wurzel-Taste

dann + 30

und bekommt 60.6431...

Da n nur ganzzahlig sein kann (weil es nur ganze Zeilen {Index} gibt),

lautet die Lösung also: "Ab n>=61 ist a[n] kleiner als 0.005".

Der Iterationsrechner war zur Kontrolle, weil man sich ja mal vertippen kann.

Answer 2

(2+3n)/(n²+1) < 0,05

⇔ 2 + 3n  <  0,05 • (n²+1)

⇔ 2 + 3n  <  0,05 • n² + 0,05

⇔ 0,05 • n² - 3n  >  1,95  | : 0,05

⇔ n² - 60n  > 39

⇔ n² - 60n + 30²  >  39 + 900

⇔ (n-30)² > 939

⇔ | n-30 | > √(929  [ ≈ 30,6 ]

⇔ n-30 > 30,6  oder  n-30 < -30,6 (entfällt, da n positiv)

⇔ n > 60,6

⇔ n ≥ 61       [ da n∈ℕ ]

Gruß Wolfgang