Urbild soll mit der Inversen übereinstimmen

Question

Sei f : X → Y eine bijektive Abbildung.

Zeige, dass für jede Teilmenge A' ⊂ Y das Urbild von A' bezüglich f mit dem Bild von A' bezüg-

lich der Inversen f ^-1 : Y → X übereinstimmt. Beide Mengen werden mit f^-1(A') bezeichnet.

Wie beweist man das am besten?

Answer 1

Sei U das Urbild von A' unter f und B das Bild von A' unter f^-1.

Behauptung: U=B

Es genügt zu zeigen: U⊆B und B⊆U

Zu U⊆B: Sei x ∈ U. Dann ist f(x) ∈ A', also f^-1(f(x)) ∈ B. Wegen f^-1(f(x))=x ist dann auch x ∈ B.

Zu B⊆U: Sei x ∈ B. Dann ...

Comments

Das ist wirklich einfach zu verstehen.