f(X\M) ⊂ y\f(M) <=> injektiv für alle M ⊂ X

Question

Es seien X und Y beliebige Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeige:

a) f injektiv ⇐⇒ f (X \ M ) ⊂ Y \ f (M ) für alle M ⊂ X.

b) f surjektiv ⇐⇒ Y \ f (M ) ⊂ f (X \ M ) für alle M ⊂ X.

Wie geht das?

Answer 1

a) f injektiv ⇐⇒
f (X \ M ) ⊂ Y \ f (M ) für alle M ⊂ X.

Sei f injektiv und  M ⊂ X..
Dann ist zu zeigen f (X \ M ) ⊂ Y \ f (M )

Sei also z aus f (X \ M ) .
Dann gibt es ein x aus X\M mit f(x)=z.
Da f injektiv ist gibt es kein anderes x1 aus
X, dessen Bild z ist. Also ist z nicht aus f(M),
da x nicht aus M. Allerdings ist z aus Y, denn Y
ist ja die Zielmenge der Abbildung. Damit ist
z aus Y \ f (M )

So ist also aus  z aus f (X \ M )
z aus Y \ f (M ) hergeleitet, also das 1. eine
Teilmenge des 2.

Probier das andere mal so ähnlich.