Kein Thema :) Gerne.
Aus sup(A und B) folgt, dass x€R die kleinste obere Schranke von A und B ist. Somit exisiert ein x, für das gilt (a und b) sind kleiner als x. Dies gilt für alle a€A und alle b€B.
Nicht wirklich, \(\sup(A \cap B ) \) soll das Supremum der Menge \(A\cap B\) sein und nicht das Supremum für A UND das Supremum für B, was bedeuten würde, dass \( \sup(A \cap B ) = \sup(A) = \sup(B) \), was im Allgemeinen nicht stimmt (das zeigen wir quasi fast schon mit Aufgabe b).
Aus den Voraussetzungen sollte klar sein warum alle Suprema existieren. Denk mal drüber nach warum \(\sup(A)\) und \(\sup(B)\) jeweils obere Schranken für \(A \cap B\) sein müssen und warum daraus folgt, dass \(\sup(A \cap B)\) kleiner gleich dem Minimum der beiden sein muss.