Mengenoperationen mit Supremum beweisen

Question

Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen bzw. einen Ansatz geben?

Answer 1

alles was du brauchst ist hier im Grunde die Definition des Supremums.

Noch ein zusätzlicher Tipp: Zwei reelle Zahlen \(x\) und \(y\) sind gleich genau dann, wenn \(x \leq y \) und \(y \leq x \) gilt.

Gruß

Comments

Beim formalen aufschreiben der Lösung bräuchte ich Hilfe.

zu b)

sup(AoderB) =< 

       x€R ist kleinste obere Schranke von A und B mit (a und b) =< x für alle a€A und b€B

      <=> min(sup(A), sup(B))

Ist dies korrekt?

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Ich versteh das nicht, wenn du Probleme hast etwas "mathematisch" zu formulieren, dann mach es bitte in Worten und Sätzen, so dass man den Sinn dahinter erkennen kann. Bei der Umsetzung kann ich dich dir dann unter die Arme greifen.

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Ok. Dann nochmal in Worten.

Aus sup(A und B) folgt, dass x€R die kleinste obere Schranke von A und B ist. Somit exisiert ein x, für das gilt (a und b) sind kleiner als x. Dies gilt für alle a€A und alle b€B.

Ich danke dir für deine Geduld.

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Kein Thema :) Gerne.

Aus sup(A und B) folgt, dass x€R die kleinste obere Schranke von A und B ist. Somit exisiert ein x, für das gilt (a und b) sind kleiner als x. Dies gilt für alle a€A und alle b€B.

Nicht wirklich, \(\sup(A \cap B ) \) soll das Supremum der Menge \(A\cap B\) sein und nicht das Supremum für A UND das Supremum für B, was bedeuten würde, dass \( \sup(A \cap B ) = \sup(A) = \sup(B) \), was im Allgemeinen nicht stimmt (das zeigen wir quasi fast schon mit Aufgabe b).

Aus den Voraussetzungen sollte klar sein warum alle Suprema existieren. Denk mal drüber nach warum \(\sup(A)\) und \(\sup(B)\) jeweils obere Schranken für \(A \cap B\) sein müssen und warum daraus folgt, dass \(\sup(A \cap B)\) kleiner gleich dem Minimum der beiden sein muss.

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_{Na dies folgt doch auch der Bedingung das A∩B ⊆A∨B und damit ja die obere Schranke A∩B unterhalb der Schranken von A oder B liegt.}

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Du meinst "...und damit ja die kleinste obere Schranke von \(A \cap B \) unterhalb..."

Dann liegst du richtig, denn die kleinste obere Schranke ist kleiner als jede andere obere Schranke. Jetzt kannst du den Beweis formalisieren. Mach es doch genau in den 2 Schritten die ich im vorigen Kommentar vorgeschlagen habe.

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Gut, dann probiere ich mal.

sup(A∩B) = x. Da x die kleinste obere Schranke von A∩B und die Vereinigung von A und B Teilmenge von A∨B ist. Folgt, dass x ≤ min(sup(A),sup(B)) ist.

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Ja hier mal bspw. nur ein bisschen ausführlicher und in einer etwas anderen Reihenfolge:

A und B nicht leer und nach oben beschränkt, daraus folgt \( \sup(A)\) und \(\sup(B)\) existieren.

\(A\cap B \neq \emptyset\), also existiert auch \(\sup(A \cap B)\).

Da \(A \cap B \subseteq A \wedge A \cap B \subseteq B\) folgt \( \sup(A \cap B) \leq \sup(A)\) und \(\sup(A \cap B) \leq \sup(B)\) und somit also \( \sup(A \cap B ) \leq \min ( \sup(A), \sup(B)) \).