Infimum und Supremum bestimmen und beweisen

Question

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und wollte hier mal nach Hilfe fragen.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Bestimmen Sie für jede der folgenden nach oben und unten beschränkten Mengen M das Supremum und das Infimum. Beweisen sie Ihre Aussage!
a)
$$M=\left\{ 2+\frac { 3 }{ n } |n\quad \epsilon \quad N \right\} $$
b)
$$M=\left\{ { \left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ m }-\frac { 5 }{ n } |m,\quad n\quad \epsilon \quad N \right\} $$

Bei Aufgabe a) habe ich bereits das Supremum bestimmt und bewiesen und das Infimum bestimmt, jedoch tue ich mir da gerade ziemlich schwer beim beweisen.

Haben in der Vorlesung die folgende Definition für Supremum bekommen:
Eine Zahl s Element R heißt Supremum von M wenn gilt:
1) s ist eine obere Schranke für M
2) Für jedes t mit t<s gilt : t ist nicht obere Schranke von M

Uns wurde gesagt, dass die Definition für Infimum analog nur untere statt obere Schranke, also dürfte es meiner Meinung nach so aussehen:
1) s ist eine untere Schranke für M
2) Für jedes t mit t>s gilt : t ist nicht untere Schranke von M

Jedoch bin ich mir bei 2) nicht sicher ... 

Bitte um Hilfe ;-)

 
Lipsen

Comments

okay das war bisschen dämlich von mir nicht einfach zu googlen ob das so stimmt (   2) beim Infimum), aber irgendwie komme ich trotzdem bei dem Beweis fürs Infimum nicht weiter ... -.- 

Answer 1

Hallo Lipsen,

ich gehe von  ℕ = { 1, 2, 3, ... }  aus.

a) 

Ich nehme an, du hast das Supremum 5  und das Infimum 2

Nachweis für Infimum = 2    (deine analoge Definition ist richtig, nur die Variable s passt nicht so gut :-):

1)  2 ist eine untere Schranke von M wegen  2 + 3/n > 2  für alle n ∈ ℕ

2)  Sei t > 2  , dann gilt:  Es gibt n ∈ ℕ  mit  

2 + 3/n  < t  : 

⇔  3/n < t - 2  

⇔  3 < n * (t - 2)    | : (t-2) > 0

⇔  3 / ( t -2) < n    

  Wähle also für n die nächste natürliche Zahl, die größer als  3 / ( t -2) ist.

b)

(-1/3)^m  nimmt seinen maximalen Wert 1/9  für m=2 an , seinen minimalen Wert - 1/3 für m=1  

und strebt für m→ ∞ gegen 0

5/n  nimmt seinen maximalen Wert 5  für n=1 an,  und strebt für n → ∞ gegen 0

→  das Supremum von M ist  1/9  und das Infimum   -1/3 - 5 = -16/3 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang, 
danke für die schnelle Antwort :-D
ups... copy und paste gemacht, die Sachen angepasst aber vergessen s mit i zu tauschen beim ändern >.< 

Jetzt sehe ich auch wo mein Fehler war...^^ ich hab es nur mit t > 2 und nicht mit 2+3/n < t ... ^^

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nochmal kurz eine Frage,

beim Infimum Beweis muss ich ja eine kleinere Zahl als t finden, dh. der Beweis (zu a) 2) )ist an der stelle noch nicht ganz fertig oder irre ich mich da jetzt...?

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Du hast doch die untere Schranke 2 schon gefunden.

Zu beweisen ist dann nur noch, dass 2 die größte untere Schranke ist, dass es also für t >2 immer Elemente aus M gibt, die kleiner als t sind.

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ahhhh ja, ich muss also so wie du nur noch schreiben, dass wenn ich n so wähle, dass es sich dann um eine kleinere zahl als t handelt oder?^^ (tut mir leid wenn die Frage dumm wirkt... bin nur etwas verwirrt über den Beweis, weil uns in der Übung, Tutorium und Vorlesung nur die Definitionen etc zum Supremum gezeigt wurden und bei Infimum es immer hieß "Das läuft Analog ab" und sie es deshalb nicht behandeln wollten ...^^ )

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Du musst mit "2)" nur zeigen, dass es für jede Zahl t, die größer als 2 ist,  in M mindestens ein Zahl gibt, die kleiner als t ist. Dann ist t keine untere Schranke. Deshalb ist 2 die größte untere Schranke - also das Infimum.