Supremum, Infimum, Max/Min

Question

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen reeller Zahlen beschränkt sind und bestimmen Sie ihr Supremum und Infimum. Handelt es sich dabei um ein Maximum beziehungsweise Minimum?

A := { (x-1)/ (x+1) | x ∈ (0,1) }

B := { n / (2n+1) | n ∈ ℕ }

Answer 1

  Hier ist Polynomdivision   (  PD  )  angesagt; es handelt sich um Hyperbeln.

   A)    (  x  -  1 )  :  (  x  +  1  )  =  (  x  +  1  )  :  (  x  +  1  ) -  2 / ( x  +  1  )    =       (  1a  )

     =  1  - 2 / (  x  +  1  )          (  1b  )

     In ( 1b ) sieht man, dass sie ein negatives Residuum hat; rechts von ihrem Pol  x0 = ( - 1 ) kommt sie von  ( - °° )   Auf dem intressierenden Intervall verhält sie sich monoton steigend.   Daher  ist ihr Infimum der linke Randpunkt

      f  ( 0  )  =  (  -  1  )        (  2a  )

     und das Supremum der rechte, ihre Nullstelle

       f  (  1  )  =  0      (  2b  )

    Es ist ganz einfach; ein Minimum / Maximum ist nur, wenn es tatsächlich angenommen wird. Und das ist nicht der Fall, da ja die Randpunkte nicht dazu gehören.

   B)  abermals  PD

    x  :  (  2  x  +  1  )  =  1/2  -  1 / 2 ( 2 x + 1 )        (  3  )

   Analog wie oben eine steigende Hyperbel.  Ihre Nullstelle beo n = 0  ist das Minimum; und das Supremum beträgt  1/2 , wie aus ( 3 ) ersichtlich.  dieser Funktionswert entspricht  x = ( °° )  bzw. dem  ===>  Nordpol der ===>  Gaußschen Zahlenkugel; doch der ist kein Element von  |N .