Berechnen Sie die Eulersche Zahl näherungsweise

Question

Die Eulersche Zahl $$ { e }=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n! }  } $$

ist näherungsweise zu berechnen, indem man eine rationale Zahl q angibt, für die man folgendes beweisen kann:

$$ |e-q|<{ 10 }^{ -3 } $$

Der Rechenrest $$ { r }_{ N }=\sum _{ n=N }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n! }  } $$ ist durch Verlgeich mit einer geometrischen Reihe abzuschätzen.

Ich weiß zwar wie ich die Eulersche Zahl berechne, aber nicht auf die Weise wie es in diesem Beispiel gefragt ist.

Answer 1

verwende dass \(2^n < n!\) für \( n \geq 4\).

Gruß

Comments

Ok, das wäre dann der zweite Teil der Aufgabe.

Aber wie funktioniert der Beweis?

Ich weiß zwar wie ich die Eulersche Zahl mit Hilfe von der oben genannten unendlichen Reihe berechne, aber nicht mit dem geforderten Beweis mit einer rationalen Zahl q.

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Ich würde es genau anders herum angehen. Wenn du eine Zahl \(N \in \mathbb{N}\) findest, so dass \( r_N<10^{-3} \) ist, dann erfüllt \( q = \sum \limits_{n=0}^{N-1} \) die geforderte Eigenschaft.

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Kannst du mal deinen Lösungsansatz angeben?
Ich steh grade ziemlich auf der Leitung...

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Lösungsansatz steht da. Für \(N \geq 4 \) ist 

$$ \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n!} \leq \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{N-1}}$$

Aus der Ungleichung \( \frac{1}{2^{N-1}} < 10^{-3} \), folgt \( N= 11\) und somit gilt die Abschätzung für $$q = \sum_{n=0}^{10} \frac{1}{n!} $$

Mit ähnlichen Abschätzungen kommt man sogar auf kleinere N's.