Wie beweist man dass die eulersche Zahl zwischen 2 und 3 liegt?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( e \) die eulersche Zahl \( e=\exp (1)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \). Beweisen Sie: \( 2<e<3 \).

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1+1+1/2+1/6+1/24+1/120 + ...

Betrachte die Brüche! Der Grenzwert der Summe muss kleiner 1 sein?

Answer 1

Moinsen, dass die Reihe größer als 2 ist, kannst du beweisen, indem du die ersten 3 Folgenglieder aufaddierst ;)

Das sie kleiner ist als 3 kannst du beweisen, indem du eine Abschätzung nach oben machst, in dem du für n! ; 2^(n-1) einsetzt und dann mit geometrischer Reihe deinen Wert berechnest :)

Answer 2

(1)  Betrachte die \(N\)-ten Partialsummen für \(N\ge2\):$$\sum_{n=0}^N\frac1{n!}\le\frac1{0!}+\frac1{1!}+\sum_{n=2}^N\frac1{n(n-1)}=2+\sum_{n=2}^N\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)=2+1-\frac1N=3-\frac1N<3.$$\(\big[\)Anmerkung: Es ist \(n!=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1\ge n(n-1)\) für alle \(n\ge2\big]\).

(2)  Die Summe der ersten drei Summanden (1 + 1 + 1/2) ist bereits größer als 2 und alle Summanden sind positiv.

Comments

Im Limes liefert dass aber nur \( e \le 3 \) und nicht wie gefordert \( e < 3 \).

Z.B. ist auch für die geometrische Reihe:

$$ \sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n} = \frac{1-0.5^{N+1}}{1-0.5} < 2 $$

aber

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = 2 $$

Man muss also schon etwas schärfer abschätzen.

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Stimmt. Das echt kleiner habe ich übersehen. Besser Ist$$\sum_{n=0}^N\frac1{n!}\le\frac52+\sum_{n=3}^\N\frac1{n(n-1)(n-2)}<\frac{11}4.$$

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Dein ursprüngliches Argument wäre auch richtig, wenn Du n>=4 betrachtet hättest; denn dann wäre die Abschätzung der Summanden - eben ab 4 - strikt.

Gruß Mathhilf