eindeutige Lösbarkeit zeigen, Probleme bei der Aufgabe

Question

Es seien paarweise verschiedene Zahlen a, b, c gegeben. Man zeige, dass das
folgende lineare Gleichungssystem stets eindeutig lösbar ist, wie immer die
d_i auf der rechten Seite auch gewahlt sein mögen:

x₁ + x₂ + x₃ = d₁

ax₁ + bx₂ + cx₃ = d₂

a^2x₁ + b²x₂ + c²x₃ = d₃

Comments

a^2x₁ + b²x₂ + c²x₃ = d₃

Es soll wohl so heißen ?

a²x₁ + b²x₂ + c²x₃ = d₃

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Stimmt, sry.

Answer 1

Es ist \(\det\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}=(a-b)(a-c)(c-b)\ne0\).

Comments

Könntest du vielleicht den Rechenweg angeben, wie du von der Matrix auf das nach dem Gleichheitszeichen kommst?

Vielen Dank

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Elementarer Zeilenumformungen zufolge ist$$\det\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}1&1&1\\0&b-a&c-a\\0&b^2-a^2&c^2-a^2\end{pmatrix}$$$$=\det\begin{pmatrix}1&1&1\\0&b-a&c-a\\0&0&(c-a)(c-b)\end{pmatrix}=1\cdot(b-a)\cdot(c-a)(c-b).$$