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muss den Grenzwert dieser Reihe bestimmen:

$$\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { 1+{ (-2) }^{ k } }{ { 2 }^{ 2k } }  } $$

Weiß noch nicht genau wie man bei sowas anfängt. Mit Konvergenzkriterien darf man sowas ja nicht lösen oder?

Ein paar Tipps bzw. ähnliche Beispiele wäre sehr hilfreich.

Danke

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Aus

$$ \frac { { \left( -2 \right)  }^{ k }+1 }{ { 2 }^{ 2k } } ={ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k }+{ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ k } $$

sowie aus der absoluten Konvergenz der Reihe folgt:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -2 \right)  }^{ k }+1 }{ { 2 }^{ 2k } }  } =\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k } } +\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ k } } $$

Man erhält also zwei geometrische Reihen, deren Grenzwert sich leicht bestimmen läßt.

$$ \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k } } =\frac { 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ n+1 } }{ 1-\left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  } =\frac { 2 }{ 3 } \left[ 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ n+1 } \right] $$

$$ \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ k } } =\frac { 2 }{ 3 } $$

$$ \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ k } } =\frac { 1-{ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ n+1 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  } =\frac { 4 }{ 3 } \left[ 1-{ \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ n+1 } \right] $$

$$ \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 }  \right)  }^{ k } } =\frac { 4 }{ 3 } $$

Somit gilt:

$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ \frac { { \left( -2 \right)  }^{ k }+1 }{ { 2 }^{ 2k } }  } =\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 4 }{ 3 } =2 $$

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Aus  ...  folgt  ...

Das tut es natürlich nicht so ohne weiteres.

Warum nicht?

Aus  0  =  (+1) + (-1)  folgt nicht, dass  Σk=0 ∞ 0  =  Σk=0 ∞ (+1) + Σk=0 ∞ (-1)  wäre.

Du hast Summanden hinzugefügt und dann die so nicht absolut konvergente, ja sogar divergente Reihe umgeordnet.

Oben wurden vorhandene Summanden umsortiert, was wegen der absoluten Konvergenz erlaubt war.

umsortiert, was wegen der absoluten Konvergenz erlaubt war.

Ganau das ist das "Weitere".

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