Aus
$$ \frac { { \left( -2 \right) }^{ k }+1 }{ { 2 }^{ 2k } } ={ \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k }+{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } $$
sowie aus der absoluten Konvergenz der Reihe folgt:
$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -2 \right) }^{ k }+1 }{ { 2 }^{ 2k } } } =\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } } +\sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } $$
Man erhält also zwei geometrische Reihen, deren Grenzwert sich leicht bestimmen läßt.
$$ \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } } =\frac { 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n+1 } }{ 1-\left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) } =\frac { 2 }{ 3 } \left[ 1-{ \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ n+1 } \right] $$
$$ \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ k } } =\frac { 2 }{ 3 } $$
$$ \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ n }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } =\frac { 1-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n+1 } }{ 1-\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) } =\frac { 4 }{ 3 } \left[ 1-{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ n+1 } \right] $$
$$ \quad \quad \quad \quad \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ k } } =\frac { 4 }{ 3 } $$
Somit gilt:
$$ \sum _{ k=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -2 \right) }^{ k }+1 }{ { 2 }^{ 2k } } } =\frac { 2 }{ 3 } +\frac { 4 }{ 3 } =2 $$
