Grenzwert bestimmen bzw. beweisen

Question

Aufgabe:

Für welche a, b ∈ R existiert

lim (n->∞) (a + b/n)^(n)

und was ist der Grenzwert, wenn er existiert?

Problem/Ansatz:

Guten Sonntag:)

ich lerne gerade für die anstehende Prüfung in Mathe und habe einige Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß jetzt z.B. nicht wie ich hier virgehen muss, oder was überhaupt hierbei rauskommt.

Danke schonmal für Hilfe

MfG

Comments

Meinst ((a+b)/n))^n oder (a + b/n)^n ??

Answer 1

(a + b/n)^(n)  = a^n * ( 1 + (b/a) / n )^n

wenn man die Faktoren der rechten Seite getrennt betrachtet,

hat man ja den Grenzwert von a^n und der andere ist e^(b/a) .

Für |a| > 1 existiert sicherlich kein Grenzwert, denn da

konvergiert a^x nicht.

Für a=1 klappt es: Grenzwert e^b .

Für a=-1 ginge es nur dann, wenn der 2. Faktor gegen 0

geht.  Aber e^b ist nie 0.

Für |a| < 1 geht  a^n gegen 0 und falls nicht a=0 ist,

geht der 2. Faktor gegen e^(b/a), also insgesamt Grenzwert 0.

Für a=0 hat man ja (b/n)^n und dessen Betrag ist für hinreichend großes n

kleiner als 0,5^n , geht also gegen 0.