Bestimmen sie den Grenzwert der konvergenten Reihe

Question

Aufgabe: Bestimmen sie den Grenzwert der konvergenten Reihe:

Hierbei habe ich keine Ahnung, wie ich das angehen soll.

Ansätze dazu wären sehr hilfreich. Danke schon mal im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^{n\red{-1}}}{3^{2n\green{+1}}}=\frac{\red{8^{-1}}}{\green{3^1}}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^n}{3^{2n}}=\frac{1}{\red 8\cdot\green3}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^n}{(3^2)^n}=\frac{1}{24}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^n}{9^n}=\frac{1}{24}\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac89\right)^n$$Mit dem Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe heißt das:$$\phantom{\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{8^{n\red{-1}}}{3^{2n\green{+1}}}}=\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{1-\frac89}=\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{\frac19}=\frac{9}{24}=\frac38$$

Answer 2

Hallo

8^n-1=1/8*8^n

3²ⁿ⁺¹=3^2n*3=9^n*3

1/(8*3) aus der Summe ziehen, dann hast du eine

geometrische Reihe.

Rat: immer versuchen, eine bekannte Reihe zu finden!

Gruß lul