Bestimmen Sie den Grenzwert von der folgenden konvergenten Reihe

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie mit Hilfe des Majoranten- und Minorantenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz byw. Divergenz:

∑ von n = 1 bis unendlich (1/(3 + (-1)^n)^n)

und

Bestimmen Sie den Grenzwert von der folgenden konvergenten Reihe

∑ von n = 2 bis unendlich 2e/(n^2 - n)

Problem/Ansatz:

Würde mir jemand evtl. bei diesen zwei Fragen helfen, Danke :)

Comments

Wenn du keine Partialbruchzerlegung möchtest, gibt es auch noch folgende Möglichkeit:
Betrachte die Folge der Partialsummen \(\displaystyle s_N=\sum_{n=2}^N\frac1{n^2-n}\):$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}N&2&3&4&5&6&\dots\\\hline\\[-6px]s_N&\dfrac12&\dfrac23&\dfrac34&\dfrac45&\dfrac56&\dots\end{array}$$Die Vermutung ist \(\displaystyle\ \sum_{n=2}^N\frac1{n^2-n}=\frac{N-1}N\). Beweise diese Vermutung mittels Induktion und bilde den Grenzwert für \(N\to\infty\). Zuletzt den Faktor \(2\mathrm e\) nicht vergessen.

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Wie kommt man auf so etwas?

Gedankengänge?

Answer 1

hallo bei der erste findest du leicht eine konvergente Najorante

2. Prtialbruchzerlegung A/n+B/(n+1) =1/(n*(n+1))und dann Teleskopsumme , bzw um das zu sehen, schreib die paar ersten Glieder hin-

Gruß lul

Comments

Warum denn 1/(n*(n+1)) ?

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Danke mal wieder, natürlich 1/(n*(n-1))

aber man kann ja auch mal hoffen der Frager denkt mit und nicht nur  so ein netter Aufpasser.

Gruß lul

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Ich habe versucht, die erste Frage durch sowhol majoranten als minorantenkriterium zu lösen, ich habe aber leider keine Fortschritte wegen dieser (-1)^n gemacht.

die zweite, wir haben noch keine partialbruchzerlegung gelernt, also es musste einen leichten Weg geben. Warum ich Partialbruchzerlegung nicht benutzen möchte, denn ich kenne mich damit nicht so gut auch aus, vor allem, es gibt soweit ich weiß viele Fälle.

Könntest du mir die erste näher erklären? oder einfach eine Musterlösung wie die geben

Welche Möglichkeit gibt es bei der zweiten außer Partialbruchzerlegung?

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der Nenner ist doch 4 oder 2 also sind alle Summanden <=(1/2)^n

Partialbruchzerlegung muss man einfach machen, nicht "gehabt haben" das 1 mal 1 habt ihr ja in er Uni auch nicht "gehabt"

1/(n*(n-1))=A/n+B/(n-1)

A/n+B/(n-1)= (A(n-1)+B*n)/(n*(n-1)) jetzt vergleich mit 1/(n*(n-1) sagt -A=1 A+B=0 also B=-A und du hast

1/(n*(n-1))=1/(n-1)-1/n  Wenn du jetzt die ersten paar aufschreibst siehst du dass sich fast alles weghebt, die Summe schiebt sich zusammen und heisst deshalb Teleskopsumme,,

indem du eine der Summen den Index verschiebst bekommst du das Ergebnis .

lul